FAV-ZCU/KMA LAA/6. Lineární zobrazení.md

Lineární zobrazení

• \mathcal{U} = R^4 - LVP před zobrazením
• \mathcal{V}= R^3 - LVP po zobrazení
• \mathbb L : \mathcal{U} \to \mathcal{V}

Zobrazení \mathbb L : \mathcal{U} \to \mathcal{V} kde \mathcal{U}, \mathcal{V} jsou LVP, jestliže pro každé \vec x, \vec y \in \mathcal{U} a pro každé c \in \mathbb R platí:

1. \mathbb{L}(\vec x + \vec y) = \mathbb{L}(\vec x) + \mathbb{L}(\vec y)
2. \mathbb{L}(c \cdot \vec x) = c \cdot \mathbb{L}(\vec x)

Nazývá se také homomorfizmus.

\dim(Ker \space \mathbb L) + \dim(Im \space \mathbb L) = \dim(\mathcal U)

Jádro

• všechny LK vektorů před zobrazením, které se po zobrazení rovnají 0
• zjištění přes zjištění LK
  • Ker \space \mathbb{L} = \{ \forall \vec x \in \mathcal U; \mathbb L (\vec x) = 0 \}
• zápis: Ker \space \mathbb{L} = \langle \vec{u}; \vec{v} \rangle

Zapíšu zobrazení do matice, po provedení GJEM zjistím, které prvky se zobrazí na nulový vektor (tedy si vyjádřím např. a, b, c).

Obraz

• všechny LK vektorů po zobrazení
  • Im \space \mathbb{L} = \{ \vec y \in \mathcal V; \exists \vec x \in \mathcal U, \mathbb{L}(\vec x) = \vec y \}
• zápis: Im \space \mathbb{L} = \langle \vec{u}; \vec{v} \rangle

Vypočítám jej opět zapsáním zobrazení do matice a provedením GJEM. Obrazem je poté LN množina vektorů (podobné jako u báze).

Lineární operátor

Lineární zobrazení \mathbb{L} : U \to U.

Identické zobrazení

Zobrazení \mathbb F definované vztahem \mathbb F(x) = (x).

Prosté zobrazení

Žádné dva rozdílné prvky se nezobrazí na jeden stejný prvek.

• Ker \space \mathbb{L} = \{\vec{o}_{\mathcal U}\}
• \dim(Ker \space \mathbb{L}) = 0

Zobrazení na

Celý prostor \mathcal{U} se zobrazuje na celý prostor \mathcal{V}.

• \forall v \in \mathcal V : \exists u \in \mathcal U : f(u) = v
• Im(\mathbb{L}) = \mathcal{V}

Izomorfní zobrazení

Lineární zobrazení je izomorfizmem, pokud je prosté a na, dimenze jeho obrazu je stejná jako dimenze prostoru V.

• platí zároveň
  • Ker \space \mathbb{L} = \{\vec{o}_{\mathcal U}\}
  • \dim(Im \space \mathbb{L}) = \dim(\mathcal V)
• dimenze obou prostorů se musí rovnat, jinak se nejedná o izomorfizmus
  • \dim(\mathcal U) = \dim(\mathcal V)

Vlastnosti

• matice M lineárního zobrazení pro izomorfní zobrazení je regulární
• inverzní izomorfní zobrazení \mathbb L^{-1}:\mathcal{V} \to \mathcal{U} je také izomorfní
  • matice lin. zobrazení pro inverzní izomorfní zobrazení je M^{-1}
• prvky \vec{x}_{1}, \vec{x}_{2}, \dots, \vec{x}_{n} \in \mathcal{U} jsou LZ, pokud \mathbb L(\vec{x}_{1}), \mathbb L(\vec{x}_{2}), \dots, \mathbb L(\vec{x}_{n}) \in \mathcal{V} jsou LZ

Inverzní zobrazení

Je-li f : A \to B zobrazení, pak inverzním zobrazením je f^{-1} : B \to A.

• f^{-1}(b) = a
• f(a) = b

Matice lineárního zobrazení

Nejsnadnější způsob, jak počítačově popsat lineární zobrazení.

Znázorňuje vztah souřadnicemi prvku vzhledem k jedné bázi a souřadnicemi zobrazení prvku vzhledem k druhé bázi.

• Dimenze obrazu lineárního zobrazení \mathbb{L} je stejná jako hodnost matice lineárního zobrazení.
• Pokud je matice lineárního zobrazení regulání, lineární zobrazení je izomorfizmus.

Postup:

• Určete matici zobrazení \mathbb{L} v bázích B_{1} a B_{2}.

1. Vektory první báze zobrazím pomocí lineárního zobrazení.
2. Zobrazené vektory napíšu do sloupců matice A_{2}.
3. Do matice A_{1} napíšu do sloupců vektory ze druhé báze.
4. Matice spojím do matice A = [A_{1} \mid A_{2}], kterou vyřeším pomocí GJEM.
5. Na levé straně díky GJEM dostanu jednotkovou matici a na pravé straně vznikne matice lineárního zobrazení.

Matice přechodu

Matice identického lineárního zobrazení vzhledem k bázím B_{1} a B_{2}.

Nechť T je matice přechodu od báze B_{2} k bázi B_{1} (je to naopak).

• T je regulární
• T_{\vec{u}_C} = \vec{u}_D \quad \forall \vec{u} \in U
• T^{-1} je matice přechodu od báze B_{1} k bázi B_{2}

Postup je stejný jako u matice lineárního zobrazení, jen prvky první báze nezobrazuji a rovnou je zapíšu do matice.

Složené zobrazení

Nechť \mathbb{L}_{1} : U \to V, \mathbb{L}_{2} : V \to W a báze v U, V, W jsou C, D, E. A je matice \mathbb L_1 vzhledem k bázím C, D a B je matice \mathbb L_{2} vhledem k bázím D, E.

Složené zobrazení \mathbb L = \mathbb L_{2} \circ \mathbb L_{1} : U \to W je lineární a jeho matice vzhledem k bázím C, E je rovna matici B \cdot A.

Důsledky:

• Pro uvedené matice lin. zobr. platí: hod(B \cdot A) \leq \min\{hod(A), hod(B)\}.
• Pokud je lineární zobrazení izomorfizmus s maticí A vzhledem k bázím C, D, potom inverzní zobrazení má vzhledem k bázím D, C matici A^{-1}.