2.6 KiB
Soustavy lineárních rovnic
Soustava m rovnic pro n neznámých:
$$
\begin{matrix}
a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + a_{13}x_{3} + \dots + a_{1n}x_{n} = b_{1} \
a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + a_{23}x_{3} + \dots + a_{2n}x_{n} = b_{2} \
\vdots \qquad\qquad\qquad \vdots \
a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + a_{m3}x_{3} + \dots + a_{mn}x_{n} = b_{n}
\end{matrix}
Soustavu zapíšeme maticově:
$$
A = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \
a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn}
\end{bmatrix}, \qquad \vec{x} = \begin{bmatrix}
x_{1} \
x_{2} \
\vdots \
x_{n}
\end{bmatrix}, \qquad \vec{b} = \begin{bmatrix}
b_{1} \
b_{2} \
\vdots \
b_{m}
\end{bmatrix}
Potom A je matice soustavy (typu $m/n$), \vec{x} je vektor (sloupec) neznámých a \vec{b} je vektor (sloupec) pravých stran.
Soustavu zapisujeme jako A\vec{x} = \vec{b}.
Dvě soustavy se nazývají ekvivalentní, jestliže mají stejnou množinu řešení.
Rozšířená matice soustavy
Zápis soustavy do matice, kde svislá čára značí =, značíme ji jako A^R = [A \mid \vec{b}].
Frobeniova podmínka řešitelnosti
Nehomogenní soustava rovnic A\vec{x} = \vec{b} má řešení právě tehdy, když hod(A^R) = hod(A).
Typy soustav
- homogenní
- s nulovým sloupcem vpravo (nemusí se psát)
- nehomogenní
- s čísly vpravo oddělenými svislou čárou (značí $=$)
Řešení soustavy
- přepíšu do matice a vyřeším pomocí GEM/GJEM
- najdu pivoty (první nenulové číslo v řádku) a ke sloupcům bez pivota přiřadím parametry (např.: $x_3 = t, t \in R$)
- řádky zapíšu jako rovnice (např.: $2x_1 + 3x_2 + x_4 = 0$)
- z rovnic vyjádřím jednotlivá x
Možná řešení
- soustava nemá řešení
- soustava má jedno řešení
- soustava má nekonečně mnoho řešení
Cramerovo pravidlo
- používá se u čtvercových regulárních matic (viz hodnost matice)
- každý cramerovský systém má 1 řešení
- zjistíme determinant z matice A a také z každé nové matice
- nové matice vytvoříme postupným nahrazením každého sloupce v matici za pravou stranu
- první matice bude mít nahrazený pouze 1. sloupec, druhá pouze 2., ...
- výsledkem matice je poté
x_{1} = \frac{\det A_{1}}{\det A},x_{2} = \frac{\det A_{2}}{\det A},x_{i} = \frac{\det A_{i}}{\det A}
Gaussova eliminační metoda (GEM)
Metoda řešení soustavy lineárních rovnic, pomocí které je možné převést každou matici na stupňovitý tvar.
Vhodná k řešení soustav, pro výpočty inverzních matic a determinantů.