FAV-ZCU/KMA LAA/8. Vlastní čísla a vlastní vektory.md

Vlastní čísla

• A - matice A
• \vec{u} - vlastní vektor matice A
• \lambda - vlastní číslo matice A

A \cdot \vec{u} = \lambda \cdot \vec{u}

• \vec{u} \in U \smallsetminus \{\vec{o}\} (u nulového vektoru by to platilo vždy)
• úpravou získáme (\lambda I-A) \cdot \vec{u} = \vec{o}

Vlastní čísla

Získání:

1. Vypočítáme determinant matice \det{(\lambda I - A)} -> výsledkem je charakteristický polynom
2. V průběhu si zkusíme vytknout něco s lambdou, např. (\lambda-5)
3. Získáme kořeny polynomu (vlastní čísla) a výsledek zapíšeme ve tvaru (\lambda-5)(\lambda+2)^2
   • (\lambda_{1} = 5, \lambda_{2,3} = -2)

Při změně báze se vlastní čísla ani vlastní vektory nemění. Vektory jsou sice stejné, ale v jiné bázi.

Spektrum matice

• soubor všech vlastních čísel
• značí se Sp(A)
  • např.: Sp(A) = \{3^2; -1\}

Vlastní vektory

• bázové prvky jádra lineárního zobrazení s maticí A - \lambda I pro konkrétní vlastní číslo

Získání:

1. Dosadíme vlastní číslo za lambdu
2. Vypočítáme GJEM z matice s dosazenou lambdou
3. Pomocí n-hod(\lambda I-A) zjistíme počet dosazovaných LN vektorů
4. Do vlastního vektoru odzadu dosadíme LN vektory (pokud jen 1, dosadíme nenulové číslo)
   • běžně např. (x, 1, 0) a (x, 0, 1)
5. Dopočítáme pomocí rovnic v matici zbytek souřadnic např.: h_{1} = [2, -1, 1]^T

Vlastním vektorem h_{1} = [2, -1, 1] se myslí t\cdot [2, -1, 1], t\in R

Zobecněné vlastní vektory

Pokud nám chybí některé h_{i} (máme vícenásobné vl. číslo ale n-hod(\lambda I-A) vyjde menší než násobnost), je možné h_3 dopočítat opakováním postupu pro (\lambda I-A) = -h_{2}, kde -h2 bude v pravém sloupci.

Podobnost matic

Matice A a B jsou podobné, jestli existuje matice T taková, aby platilo A = T^{-1}BT.

• pokud je A podobná B, je zároveň B podobná A, platí tedy i:
  • TA = BT
  • TAT^{-1} = B
• každá matice je podobná sama sobě (T by byla jednotková matice $I$)

Pokud jsou matice A a B podobné, mají stejné charakteristické polynomy i spektra.

Diagonalizace

Matice NxN je diagonalizovatelná právě když

• má N lineárně nezávislých vlastních vektorů
• má různá vlastní čísla
• je symetrická nebo jednotková

K diagonalizaci matice A stačí najít množinu n lineárně nezávislých vlastních vektorů, tedy vlastní čísla mohou být i vícenásobná. Pro k-násobné vl. číslo musí platit, že dim(Ker(\mathbb{L})) = k.

Na diagonále diagonální matice jsou vlastní čísla ve stejném pořadí, jako vlastní vektory v matici T.

Zjištění matice T výše u zjištění vlastních vektorů

• výsledné vektory poté vložím do matice T:

• příklad:

  matice A = \begin{bmatrix}3 & 0 & 0 \\-4 & 7 & -4\\-8 & 8 & -5\end{bmatrix}

  vlastní čísla: \lambda_{1,2} = 3, \lambda_{3} = -1

  vlastní vektory: \vec{u_{1}} = [1, 1, 0]^T,\space\vec{u_{2}} = [-1, 0, 1]^T,\space\vec{u_{3}} = [0, 1, 2]^T

  matice D = \begin{bmatrix}3 & 0 & 0 \\0 & 3 & 0\\0 & 0 & -1\end{bmatrix} = T^{-1}AT \quad \text{(vl. čísla zapisujeme na diagonálu)}

  matice T = \begin{bmatrix}1 & -1 & 0 \\1 & 0 & 1\\0 & 1 & 2\end{bmatrix} \quad \text{(vl. vektory zapisujeme do sloupců)}

Nediagonalizovatelné matice

Taková matice je potom podobná tzv. blokově diagonální matici, nazývané Jordanův diagonální tvar. Skládá se z jednotlivých bloků, které se nazývají Jordanovy bloky.

Jordanův blok vypadá takto: \begin{bmatrix}\lambda & 1 & 0\\0 & \lambda & 1\\0 & 0 & \lambda\end{bmatrix}

• na diagonále má vlastní čísla, nad ní čísla 1
• každý blok odpovídá nějakému vl. číslu

Jordanův kanonický tvar

1. Na diagonálu dáme jednotlivá vlastní čísla
2. Pokud jsme dopočítávali vlastní vektor pro některé vlastní číslo, je potřeba dát 1 nad diagonálu v tomto Jordanově bloku