FAV-ZCU/KMA LAA/Pojmy.md

Pojmy z LAA

Zobrazení - Předpis f : X \to Y, kdy prvkům z X přiřazujeme prvky z Y (např. reálná funkce).

Komplexní čísla - Číslo z = a+bi, kde a, b \in \mathbb{R}; a \text{Re}(z) = a, \text{Im}(z) = b; hodnota i = \sqrt{-1}.

Polynomy

Polynom - Polynomem proměnné x je předpis (funkce) p(x) = a_{n}x^n + \dots + a_{1}x + a_{0}.

• p(x) = \sum_{i=0}^{n} a_{i}x^i \quad \forall x \in \mathbb{C}, a_{n} \neq 0

Koeficienty polynomu $p(x)$ - Hodnoty a_{i} v předpisu polynomu.

Stupeň polynomu $p(x)$ - Největší k, pro něž je a_{k} nenulové, značíme \text{st}(p(x)).

Nulový polynom - Polynom p(x), který má všechny koeficienty nulové, poté platí \text{st}(p(x)) = -\infty.

Kořen polynomu - Číslo c \in \mathbb C, pro které platí p(c) = 0.

Matice

Matice typu $m/n$ - Soubor (tabulka) m \times n prvků (čísel) a_{ij} zapsaných do m řádků a n sloupců, obvykle a_{ij} \in \mathbb C.

Správně bychom měli definovat: Matice A typu m/n je zobrazení \{1, 2, \dots, m\} \times \{1, 2, \dots, n\} \to \mathbb C (nebo speciálně $\mathbb R$).

Názvosloví:

• (i, j) - pozice v matici
• a_{ij} - prvek na pozici (i, j)
• i - řádkový index
• j - sloupcový index
• a_{kk} - diagonální prvek matice
• m/n - typ matice: m řádků, n sloupců

Tvary

• Čtvercová matice - matice typu m/n, kde m=n
• Obdélníková matice - matice typu m/n, kde m \neq n
• $m$-složkový sloupcový vektor - matice typu m/1
• $n$-složkový řádkový vektor - matice typu 1/n

Nulová matice - Matice typu m/n, jestliže a_{ij} = 0 pro každé i, j, značíme ji 0.

Diagonální matice - Čtvercová matice, pro kterou platí a_{ij} = 0 jestliže i \neq j, zapisujeme A = \text{diag}(a_{11}, a_{22}, a_{nn}).

Jednotková matice - Diagonální matice, pro kterou platí a_{ii} = 1, značí se I.

Symetrická matice - Čtvercová matice, pro kterou platí a_{ij} = a_{ji}.

Antisymetrická matice - Čtvercová matice, pro kterou platí a_{ij} = -a_{ji} (a $a_{ii} = 0$).

Horní trojúhelníková matice - Matice, pro kterou platí a_{ij} = 0 pro všechna i > j.

Dolní trojúhelníková matice - Matice, pro kterou platí a_{ij} = 0 pro všechna i < j.

Rovnost - Matice A a B jsou si rovny, jestliže jsou stejného typu a platí a_{ij} = b_{ij} pro všechna i, j, píšeme A = B.

Sčítání matic - Sčítáme matice stejného typu po prvcích ($c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$), zapisujeme C = A + B.

• A+B = B+A
• A+(B+C) = (A+B)+C
• A+0 = 0+A = A
• (A+B)^T = A^T + B^T

Násobení matice konstantou - Zapisujeme C = k \cdot A, kde k \in \mathbb{C}. Každý prvek vynásobíme číslem k.

• 0 \cdot A = 0
• k(A+B) = kA + kB
• (k_{1}+k_{2})A = k_{1}A + k_{2}B
• (k_{1}k_{2})A = k_{1}(k_{2}A)
• 1A = A
• -1A = -A
• (kA)^T = kA^T

Násobení dvou matic - Zapisujeme jako C = A \cdot B, kde A je typu m/n a B je typu n/p. Platí, že c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \dots + a_{in}b_{nj}. Násobení dvou matic není komutativní.

• A(BC) = (AB)C
• (A+B)C = AC + BC
• A(B+C) = AB + AC
• (AB)^T = B^TA^T
• k(AB) = (kA)B = A(kB)

Opačná matice - Matice [-a_{ij}] k matici A, značíme -A.

Transponovaná matice - Matice [a_{ji}] typu n/m k matici A = [a_{ij}] typu m/n.

Mocniny matice - Nultá mocina A^0 = I, $k$-tá mocnina A^k = A \cdot A \cdot \dots \cdot A.

Inverzní matice - Matice A^{-1} je inverzní matice ke čtvercové matici A, pro kterou platí, že A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I.

Rozšířená matice soustavy - Matice A^R = [A | \vec b], kde matice A obsahuje vektory neznámých a \vec{b} je vektor pravých stran.

Pivot v řádku $i$ - První nenulový prvek v tomto řádku (bráno zleva).

Matice ve stupňovitém tvaru - Matice A, kde pro každý řádek platí:

1. Je-li v $i$-tém řádku pivot na pozici j, ve všech dalších řádcích je na pozici j' > j.
2. Je-li řádek nulový, každý další je také nulový.

Lineární vektorové prostory

Lineární vektorový prostor nad tělesem $\mathbb T$ - Neprázdná množina \mathcal{V}, kde pro každé \vec x, \vec y, \vec z \in \mathcal{V} a pro každé k, l \in \mathbb T

• \exists!\space \vec u \in \mathcal{V} tak, že \vec u = \vec x + \vec y,
• \exists!\space \vec u \in \mathcal{V} tak, že \vec u = k \vec x,
• (\vec x + \vec y) + \vec z = \vec x + (\vec y + \vec z),
• existuje prvek \vec o \in \mathcal{V} takový, že \vec x + \vec o = \vec o + \vec x = \vec x,
• (k+l)\vec x = k\vec x + l\vec x,
• (kl)\vec x = k(l\vec x),
• 1\vec x = \vec x,
• k(\vec x + \vec y) = k\vec x + k\vec y.

Lineární kombinace - Prvek \lambda_{1} \vec v_{1} + \lambda_{2} \vec v_{2} + \dots + \lambda_{k} \vec v_{k}, kde \vec v_{i} jsou prvky LVP \mathcal{V} a \lambda_{i} jsou koeficienty.

Lineární (ne)závislost - Prvky \vec v_{i} nazveme LN pouze tehdy, pokud \lambda_{1} \vec v_{1} + \lambda_{2} \vec v_{2} + \dots + \lambda_{k} \vec v_{k} = \vec o jedině když \lambda_{i} = 0, v opačném případě se prvky nazývají LZ.

Podprostor - Nechť \mathcal{V} je LVP a \mathcal{V}' \subset \mathcal{V}. Prostor \mathcal{V}' je podprostorem LVP \mathcal{V}, jestliže

1. pro každé \vec x_{1}, \vec x_{2} \in \mathcal{V}' je \vec x_{1} + \vec x_{2} \in \mathcal{V}',
2. pro každé \vec x \in \mathcal{V}' a pro každé \lambda \in \mathbb R je \lambda\vec x \in \mathcal{V}'.

Lineární obal množiny - Nechť M = \{ \vec v_{1}, \vec v_{2}, \dots, \vec v_{k} \} \subseteq \mathcal{V}. Množinu \langle M \rangle všech lineárních kombinací prvků \vec v_{i} nazveme lineárním obalem množiny M.

Generující množina LVP - Množina M, která generuje LVP \mathcal{V}, jestliže \langle M \rangle = \mathcal{V}.

Konečně generovaný prostor - Prostor, ve kterém existuje konečná množina generující \mathcal{V}.

Báze prostoru $\mathcal{V}$ - Lineárně nezávislá množina, která generuje prostor \mathcal{V}.

Dimenze $\mathcal{V}$ - Počet prvků báze LVP \mathcal{V}, značí se \dim(\mathcal{V}).

Souřadnice prvku - Nechť \mathcal{V} je nenulový konečně generovaný LVP, \vec v \in \mathcal{V} a nechť B = \{\vec b_{1}, \vec b_{2}, \dots, \vec b_{k}\} je jeho uspořádaná báze. Jednoznačně určené koeficienty c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n} \in \mathbb{R} lineární kombinace \vec{v} = c_{1}\vec{b_{1}}, c_{2}\vec{b_{2}}, \dots, c_{n}\vec{b_{n}} se nazývají souřadnice prvku \vec v v bázi B, značí se \widehat{\vec v_{B}} = [c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n}]^T.

Determinant matice

Permutace - Vzájemně jednoznačné zobrazení konečné množiny na sebe.

Transpozice - Permutace \pi, pro kterou existují i, j takové, že \pi(i) = j, \pi(j) = i a \pi(k) = k pro všechna k \neq i, j.

Znaménko permutace $\pi$ - Číslo 1, je-li permutace sudá a -1, je-li permutace lichá (skládá se ze sudého/lichého počtu transpozice).

Determinant - Determinantem čtvercové matice A = [a_{ij}] řádu n nazveme číslo \displaystyle\det A = \sum_{\pi} zn(\pi) a_{1\pi(1)} a_{2\pi(2)} \dots a_{n\pi(n)}, kde sčítáme přes všechny permutace na množině \{ 1, 2, \dots, n \}.

Algebraický doplněk prvku $a_{ij}$ - Číslo A_{ij} = (-1)^{i+j} \det A[\cancel{i/j}], kde matice A je čtvercová.

Hodnost matice

Řádkový (sloupcový) prostor - Nechť A je typu m/n. Lineární obal všech řádkových (sloupcových) vektorů (řádků/sloupců) matice A nazveme řádkovým (sloupcovým) prostorem matice A.

Řádková (sloupcová) hodnost matice - Dimenze řádkového (sloupcového) prostoru matice A nazveme řádkovou (sloupcovou) hodností matice A, značíme \text{hod}^r(A), resp. \text{hod}^s(A).

Hodnost matice - Hodností matice A nazveme \text{hod}^r(A)

Minor řádu $m$ - Determinant libovolné čtvercové podmatice řádu m.

Regulární (singulární) matice - Čtvercovou matici A řádu n nazveme regulární, je-li \text{hod}(A) = n, jinak ji nazveme singulární (tj. $\text{hod}(A) < n$).

Adjungovaná matice k matici A - Matice poskládaná transponovaně z algebraických doplňků, značí se A^A.

Lineární zobrazení

Nechť \mathcal{U}, \mathcal{V} jsou LVP a \mathbb L : \mathcal{U} \to \mathcal{V} lineární zobrazení.

Lineární zobrazení (homomorfizmus) - Zobrazení \mathbb L : \mathcal{U} \to \mathcal{V} kde \mathcal{U}, \mathcal{V} jsou LVP, jestliže pro každé \vec x, \vec y \in \mathcal{U} a pro každé c \in \mathbb R platí:

1. \mathbb{L}(\vec x + \vec y) = \mathbb{L}(\vec x) + \mathbb{L}(\vec y)
2. \mathbb{L}(c \cdot \vec x) = c \cdot \mathbb{L}(\vec x)

Identické zobrazení - Zobrazení \mathbb F definované vztahem \mathbb F(x) = (x).

Jádro lineárního zobrazení - Množina všech prvků \vec x \in \mathcal{U} takových, že \mathbb L(\vec x) = \vec o_{v}. Značíme ji \text{Ker}(\mathbb L) = \{ \vec x \in \mathcal{U}; \mathbb L(\vec x) = \vec o_{v} \}.

Obraz lineárního zobrazení - Množina všech prvků \vec y \in \mathcal{V} takových, že existuje \vec x \in \mathcal{U} tak, že \mathbb L(\vec x) = \vec y. Značí se \text{Im}(\mathbb L) = \{ \vec y \in \mathcal{V}; \exists \vec x \in \mathcal{U}, \mathbb L(\vec x) = \vec y \}.

Izomorfní zobrazení - Lineární zobrazení \mathbb L, jestliže je prosté a zároveň na.

Izomorfní prostory - Prostory \mathcal{U}, \mathcal{V}, pokud existuje izomorfní zobrazení z \mathcal{U} do \mathcal{V}.

Matice lineárního zobrazení - Nechť \mathcal{U}, \mathcal{V} jsou LVP a \mathbb{L} : \mathcal{U} \to \mathcal{V} lineární zobrazení. Matice lineárního zobrazení je matice M pro kterou platí: \widehat{\mathbb{L}(\vec{u})} = M \cdot \vec u.

• M = \begin{bmatrix}\widehat{\mathbb{L}(\vec{u}_1)} & \widehat{\mathbb{L}(\vec{u}_2)} & \dots & \widehat{\mathbb{L}(\vec{u}_n)}\end{bmatrix}

Matice přechodu - Nechť \mathcal{U}, \mathcal{V} jsou LVP a \mathbb{L} : \mathcal{U} \to \mathcal{V} lineární zobrazení. Matice přechodu T od báze D k bázi C je matice, pro kterou platí: T \cdot \vec{x}_{c} = \widehat{I \cdot \vec{x}_{d}}.

Soustavy lineárních rovnic

Řešení soustavy rovnic - Každý vektor \overline {\vec x} \in \mathbb R^n, pro nějž platí A\overline {\vec x} = \vec b.

Ekvivalentní soustavy - Dvě soustavy, které mají stejnou množinu řešení.

(Ne)homogenní soustava - Soustava rovnic se nazývá homogenní, jestliže \vec b = \vec o. V opačném případě se nazývá nehomogenní.

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní číslo matice A - Nechť A je čtvercová matice řádu n. Číslo \lambda \in \mathbb C nazveme vlastním číslem matice A, jestliže existuje nenulový vektor \vec u \in \mathbb R^n takový, že \lambda \vec u = A\vec u.

Vlastní vektor - Vektor \vec u příslušející vlastnímu číslu \lambda, pro který platí \lambda \vec u = A\vec u.

Charakteristický polynom - Polynom \det(A-\lambda I) se nazývá charakteristický polynom matice A, která je čtvercová.

Charakteristická rovnice - Rovnice \det(A - \lambda I) = 0, kde se charakteristický polynom rovná nule.

Spektrum matice - Soubor všech vlastních čísel matice A, značíme ho \text{Sp}(A).

• \text{Sp}(A) = \{ 3^2; -1 \}

Podobnost matice - Matice A a B jsou čtvercové, matice A je podobná matici B, jestliže existuje regulární matice T taková, že A = T^{-1}BT. Značíme A \approx B.

Lineární operátor - Lineární zobrazení \mathbb L : \mathcal{U} \to \mathcal{U}.

Řetězec zobecněných vlastních vektorů - Uspořádaná $k$-tice vektorů \vec u_{i} je řetězcem zobecněných vlastních vektorů, kde A je čtvercová matice a \lambda je vlastní číslo matice A, jestliže

• (A-\lambda I)\vec u_{1} = \vec o, \vec u_{1} \neq \vec o,
• (A-\lambda I)\vec u_{2} = \vec u_{1},
• \dots
• (A-\lambda I)\vec u_{k} = \vec u_{k-1},

a k je nejmenší číslo, pro něž je (A-\lambda I)^k = \vec O.

Zobecněný vlastní vektor - Vektor \vec u_{1} je vlastní vektor příslušející vlastnímu číslu \lambda. Pro každé j = 1,2,\dots,k se nazývá $j$-tý zobecněný vlastní vektor příslušející vlastnímu číslu \lambda.

Prostory se skalárním součinem

Skalární součin - Zobrazení (\vec x, \vec y) : \mathcal{U} \times \mathcal{U} \to \mathbb{R} splňující vlastnosti

1. (\vec x, \vec x) \geq 0 pro každé \vec x \in \mathcal{U}; (\vec x,\vec x) = 0, právě když \vec x = \vec o,
2. (\vec x, \vec y) = (\vec x, \vec y) \space \forall\vec x, \vec y \in \mathcal{U},
3. (k\vec x, \vec y) = k(\vec x, \vec y) \space \forall\vec x, \vec y \in \mathcal{U}, \forall k \in \mathbb{R},
4. (\vec x + \vec y, \vec z) = (\vec x, \vec z) + (\vec y, \vec z) \space \forall\vec x, \vec y, \vec z \in \mathcal{U},

kde \mathcal{U} je LVP nad \mathbb{R}.

Eukleidovský prostor - LVP se skalárním součinem.

Norma - Zobrazení \Vert \text.\Vert : \mathcal{U} \to \mathbb{R} v lineárním vektorovém prostoru \mathcal{U}, které má vlastnosti

1. \Vert \vec{x} \Vert \geq 0 \, \forall \vec{x} \in U;\space \Vert \vec{x} \Vert = 0 právě když \vec{x} = \vec{o},
2. \Vert k\vec{x} \Vert = \vert k \vert \cdot \Vert \vec{x} \Vert \ \forall\vec{x} \in U a \forall k \in \mathbb{R},
3. \Vert \vec{x} + \vec{y} \Vert \leq \Vert \vec{x} \Vert + \Vert \vec{y} \Vert \ \forall \vec{x}, \vec{y} \in \mathbb{R}.

Ortogonální prvky - Dva prvky \vec x, \vec y Eukleidovského prostoru, jestliže (\vec x, \vec y) = 0. Píšeme \vec x \perp \vec y. Množiny X, Y \subset \mathcal{U} jsou ortogonální, jestliže \vec x \perp \vec y pro každé \vec x \in X, \vec y \in Y.

Ortogonální průmět - Nechť \mathcal{V} je Eukleidovský prostor, \mathcal{U} podprostor \mathcal{V} a \vec{v} \in \mathcal{V}, \vec{v} \notin \mathcal{U}. Ortogonální průmět prvku \vec{v} do podprostoru \mathcal{U} je prvek \vec{v}_{0}, pokud platí:

• \vec{v}_{0} \in \mathcal{U},
• (\vec{v}-\vec{v}_{0}) \perp \mathcal{U}.

Ortogonální báze - Báze Eukleidovského prostoru, jejíž každé dva prvky jsou ortogonální.

Unitární prostor ??

Ortogonální doplňek - Ortogonální doplněk \mathcal{V}^{\perp} podprostoru \mathcal{V} v \mathcal{U} je množina všech vektorů z \mathcal{U}, které jsou kolmé na \mathcal{V}, tedy na každý prvek \mathcal{V}, kde \mathcal{V} je podprostor Eukleidovského prostoru \mathcal{U}. Píšeme V^{\perp} = \{\vec{u} \in \mathcal{U}; \vec{u} \perp \vec{v}; \forall \vec{v} \in V\}.

Ortonormální báze - Ortogonální báze B = \{ \vec b_{1}, \vec b_{2}, \dots, \vec b_{k} \}, kde (\vec b_{i}, b_{i}) = 1 pro každé i = 1, 2, \dots, k.

Kvadratické formy

Kvadratická forma - Zobrazení \kappa(\vec x) = \vec x^T A \vec x, kde A je reálná symetrická matice.

Inercie kvadratické formy - Označme k počet kladných vlastních čísel matice A, z počet záporných a d počet vlastních čísel matice A rovných nule, inercií kvadratické formy označíme trojici čísel (k, z, d) a značíme in(\kappa) = (k, z, d), kde \kappa(\vec x) = \vec x^TA\vec x je kvadratická forma a A je reálná symetrická matice.

Definitnost kvadratické formy - Řekněme, že kvadratická forma \kappa(\vec x) na \mathbb{R}^5 je

typ	jestliže
pozitivně definitní	in(\kappa) = (k, 0, 0)
negativně definitní	in(\kappa) = (0, z, 0)
pozitivně semidefinitní	in(\kappa) = (k, 0, d), d > 0
negativně semidefinitní	in(\kappa) = (0, z, d), d > 0
indefinitní	in(\kappa) = (k, z, d), k > 0, z > 0
pozitivně i negativně semidefinitní	in(\kappa) = (0, 0, d)

Hlavní minor matice A řádu $k$ - Číslo \det(A_{k}), kde A = [a_{ij}] je symetrická matice řádu n a A_{k} je její podmatice obsahující prvky a_{11}, a_{22}, \dots, a_{kk}. Značí se \Delta_{k}.