FAV-ZCU/KMA M1/1. Číselné množiny.md

Číselné množiny

\emptyset \subset \mathbb{N} \subset \mathbb{N}_{0} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{R}^* \quad \mathbb{R}^* = \mathbb{R} \, \cup \{ -\infty, +\infty \}

Mějme neprázdnou množinu A \subset \mathbb{R}.

Omezenost

značka	typ	podmínka
OZ	omezená zdola	\exists \, d \in \mathbb{R} \quad \forall \, x \in A : d \leq x
OS	omezená shora	\exists \, h \in \mathbb{R} \quad \forall \, x \in A : x \leq h
O	omezená	omezená shora i zdola

Minimum, maximum

typ	podmínka	zápis
minimum	\exists \, a \in A \quad \forall \, x \in A : a \leq x	a = \min(A)
maximum	\exists \, b \in A \quad \forall \, x \in A : x \leq b	b = \max(A)

Infimum, supremum

Množina A má infimum, pokud existuje i \in \mathbb{R}^* takové, že platí

1. \forall \, x \in A : i \leq x,
2. \forall \, x_{1} \in \mathbb{R} : i < x_{1} \implies (\exists \, x_{2} \in A : x_{2} < x_{1}),

• píšeme i = \inf(A).

Množina A má supremum, pokud existuje s \in \mathbb{R}^* takové, že platí

1. \forall \, x \in A : x \leq s,
2. \forall \, x_{1} \in \mathbb{R} : x_{1} < s \implies (\exists \, x_{2} \in A : x_{1} < x_{2}),

• značíme s = \sup(A).

Pro každou neprázdnou množinu A \subset \mathbb{R} platí

1. \exists! \, \inf A, \quad \exists! \, \sup A,
2. \inf A \leq \sup A,
3. \exists \, \min A \implies \inf A = \min A,
4. \exists \, \max A \implies \sup A = \max A,
5. A není omezená zdola \Leftrightarrow \inf A = -\infty,
6. A není omezená shora \Leftrightarrow \sup A = +\infty.