7.1 KiB

Raw Permalink Blame History

Posloupnosti

Posloupnost reálných čísel je zobrazení s definičním oborem \mathbb{N} a oborem hodnot H \subset \mathbb{R}, tj. každému indexu n \in \mathbb{N} je přířazen právě jeden člen a_{n} \in \mathbb{R}.

Možné zápisy pro posloupnost:

\displaystyle (a_{n}), \quad (a_{n})_{n=1}^{+\infty}, \quad (a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots), \quad (a_{n})_{n\in \mathbb{N}}.

Zadání

typ	příklad
explicitní	`a_n = 2n`
implicitní (rekurentní)	`\begin{cases} a_{n+1} = a_n + 2 \newline a_1 = 2\end{cases}`
graf posloupnosti	`(n, a_{n})`

Omezenost

Posloupnost (a_n) s oborem hodnot H je omezená (zdola, shora), je-li množina H omezená (zdola, shora).

značení	typ	podmínka	příklad
OZ	omezená zdola	`\exists \, d \in \mathbb{R} \quad \forall \, n \in \mathbb{N} : d \leq a_{n}`	`(n-8)^2`
OS	omezená shora	`\exists \, h \in \mathbb{R} \quad \forall \, n \in \mathbb{N} : a_{n} \leq h`	`4-n`
O	omezená (shora i zdola)	`\exists \, c > 0 \quad \forall \, n \in \mathbb{N} : \vert a_{n} \vert \leq c`	`(-1)^n`

Minimum, maximum, infimum a supremum

Minimem (max, inf, sup) posloupnosti (a_n) s oborem hodnot H je minimem (max, inf, sup) množiny H.

Monotonie

Řekněme, že posloupnost (a_n) je

značka	typ	podmínka
R	rostoucí	`\displaystyle \forall n \in \mathbb{N} \quad a_{n+1} \geq a_n`
K	klesající	`\displaystyle \forall n \in \mathbb{N} \quad a_{n+1} \leq a_n`
OR	ostře rostoucí	`\displaystyle \forall n \in \mathbb{N} \quad a_{n+1} > a_n`
OK	ostře klesající	`\displaystyle \forall n \in \mathbb{N} \quad a_{n+1} < a_n`
M	monotónní	je klesající nebo rostoucí
OM	ostře monotónní	je ostře klesající nebo ostře rostoucí

Zjištění monotonie

Tipnu a ověřím
Otazníčková metoda

Limita

Vlastní limita

Posloupnost (a_n) má vlastní limitu a \in R, pokud

\displaystyle \forall \, \epsilon \in \mathbb{R} > 0 \quad \exists \, n_{0} \in \mathbb{N} \quad \forall \, n \in \mathbb{N} : n > n_{0} \implies |a_{n} - a| < \epsilon.

Píšeme

\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = a
a_{n} \to a

Pozn.: a - \epsilon < a_{n} < a + \epsilon

Pro jakoukoli šířku pásma existuje standardní hodnota, všechna následující n mají a_n uvnitř $\epsilon$-pásem

Nevlastní limita

Posloupnost (a_n) má nevlastní limitu +\infty, pokud

\displaystyle \forall \, h > 0 \quad \exists \, n_{0} \quad \forall \, n \in N : n > n_{0} \implies a_{n} > h

\displaystyle \forall \, d < 0 \quad \exists \, n_{0} \quad \forall \, n \in N : n > n_{0} \implies a_{n} < d

Píšeme

\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = +\infty nebo a_{n} \to +\infty
\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = -\infty nebo a_{n} \to -\infty

Jednoznačnost limity

Každá posloupnost má nejvýše 1 limitu.

Algebra vlastních limit

Nechť \displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = a a \displaystyle \lim_{ n \to \infty } b_{n} = b, pak

\displaystyle \lim_{ n \to \infty } (\alpha \cdot a_{n} + \beta \cdot b_{n}) = \alpha \cdot a + \beta \cdot b, pokud je pravá strana definována,
\displaystyle \lim_{ n \to \infty } (a_{n} \cdot b_{n}) = a \cdot b, pokud je pravá strana definována,
\displaystyle \lim_{ n \to \infty } (\frac{a_{n}}{b_{n}}) = \frac{a}{b}, pokud b_{n} \neq 0 pro všechna n \in N a pokud je pravá strana definována.

Věta o sevření

Mějme dány posloupnosti (a_{n}), (b_{n}), (c_{n}) a předpokládejme, že platí

\exists \, n_{o} \in \mathbb{N} \quad \forall \, n \in \mathbb{N} : n > n_{0} \implies a_{n} \leq b_{n} \leq v_{n},
\displaystyle\lim_{ n \to \infty }{a_{n}} = \lim_{ n \to \infty }{c_{n}} = a \in \mathbb{R}^*.

Potom sevřená posloupnost (b_{n}) má také limitu a platí \displaystyle\lim_{ n \to \infty }{b_{n}} = a.

Eulerovo číslo

Eulerovo číslo e je definováno jako \displaystyle e = \lim_{ n \to \infty } \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = \vert\text{"NV }1^\infty\text{"}\vert.

alternativní definice: \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}

Konvergence a divergence