FAV-ZCU/KMA M1/4. Funkce.md

Funkce

Reálná funkce jedné reálné proměnné je zobrazení f s definičním oborem D \subset \mathbb{R} a oborem hodnot H \subset \mathbb{R}.

• Každému argumentu x \in D je přiřazena právě jedna funkční hodnota y = f(x) \in \mathbb{R}.

Každá funkce je definována zároveň - funkčním předpisem ($f(x) = x^2$), - definičním oborem ($D_{f} = \mathbb{R}$).

Mějme dvě funkce f a g.

1. Funkce f a g jsou si rovny, pokud D(f) = D(g) a pro každé x \in D(f) platí f(x) = g(x).
2. Funkce f je zúžením (restrikcí) funkce g, pokud D(f) \subset D(g) a pro každé x \in D(f) platí f(x) = g(x).

Mějme dány dvě funkce f, g se stejným definičním oborem D.

typ	zápis	definice
součet funkcí	f+g	y = f(x) + g(x), x \in D
rozdíl funkcí	f-g	y = f(x) - g(x), x \in D
součin funkcí	f \cdot g	y = f(x) \cdot g(x), x \in D
podíl funkcí	\displaystyle\frac{f}{g}	\displaystyle y = \frac{f(x)}{g(x)}, x \in D

Definiční obor D_{f}

• všechny hodnoty, kterých může funkce nabývat na ose X
• je možné jím funkci omezit (např.: $D_{f} = (0, 1)$)
• zjišťuje se hledáním definičních oborů jiných funkcí nebo operací (např.: \sqrt{ -2 } nebo $\frac{1}{0}$)

Obor hodnot H_{f}

• všechny hodnoty, kterých může funkce nabývat na ose Y

Monotonie funkce

značka	typ	podmínka
R	rostoucí	\displaystyle \forall x,y \in D_{f} : x < y \implies f(x) \leq f(y)
K	klesající	\displaystyle \forall x,y \in D_{f} : x < y \implies f(x) \geq f(y)
OR	ostře rostoucí	\displaystyle \forall x,y \in D_{f} : x < y \implies f(x) \lt f(y)
OK	ostře klesající	\displaystyle \forall x,y \in D_{f} : x < y \implies f(x) \gt f(y)
M	monotónní	je klesající nebo rostoucí
OM	ostře monotónní	je ostře klesající nebo ostře rostoucí

Je-li funkce f ostře monotónní, potom je prostá.

Symetrie

• Sudá
  • symetrická podle osy Y
  • \forall x\in D_{f} :
    • -x \in D_{f}
    • f(-x) = f(x)
• Lichá
  • symetrická podle bodu [0, 0]
  • \forall x\in D_{f} :
    • -x \in D_{f}
    • f(-x) = -f(x)

Omezenost

značka	typ	podmínka
OZ	omezená zdola	\exists d \in \mathbb{R} : \forall x \in D_{f} \ \ \ f(x) \geq d
OS	omezená shora	\exists h \in \mathbb{R} : \forall x \in D_{f} \ \ \ f(x) \leq h
O	omezená	pokud je OZ i OS

Prostá funkce

Funkce f, v jejíž oboru hodnot H(f) se žádná hodnota neopakuje.

• \forall x_{1}, x_{2} \in D_{f} : x_{1} \neq x_{2} \implies f(x_{1}) \neq f(x_{2})

Periodicita

Funkce je periodická, jestliže existuje T > 0 takové, že platí:

• \forall x \in D_{f} :
  • (x \pm T) \in D_{f}
  • f(x \pm T) = f(x)

Konvexní / konkávní

• konvexní: šťastný smajlík
• konkávní: smutný smajlík

Rovnice o jedné neznámé

Mějme dánu funkci f a reálné číslo b.

• Úloha najít x_{0} \in D(f) takové, že f(x_{0}) = b, se nazývá rovnice o jedné neznámé a zapisuje se f(x) = b.
• Číslo x_{0} je řesení (či kořen) rovnice.

Mějme dánu rovnici f(x) = b.

podmínka	řešení
b \in H(f)	\geq 1 \quad alespoň jedno řešení
f je prostá	\leq 1 \quad nejvýše jedno řešení
b \in H(f) a f je prostá	= 1 \quad právě jedno řešení

Inverzní funkce

Funkce, která přiřazuje prvky „opačně“ než původní funkce.

• existuje pouze u funkcí prostých
• f(x)=y \leftrightarrow f^{-1}(y)=x

Je-li funkce ostře monotónní, potom existuje inverzní funkce.

Vypočítáme tak, že funkci přepíšeme do rovnice ($y = 2x$) a osamostatníme x ($\frac{y}{2} = x$).

funkce	podmínka	inverzní funkce
x^n		\sqrt[n]{x}
\sqrt[n]{x}		x^n
e^x		\ln(x)
\ln(x)		e^x
a^x	a > 0	\log_{a}(x)
\log_{a}(x)	a > 0	a^x
\sin(x)	x \in \langle -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \rangle	\arcsin(x)
\arcsin(x)	x \in \langle -1, 1 \rangle	\sin(x)
\cos(x)	x \in \langle -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \rangle	\arccos(x)
\arccos(x)	x \in \langle -1, 1 \rangle	\cos(x)
\tan(x)	x \in \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)	\arctan(x)
\arctan(x)		\tan(x)
\text{cotan}(x)	x \in (0, \pi)	\text{arccotan}(x)
\text{arccotan}(x)		\text{cotan}(x)

Skládání funkcí

Dvě funkce, které se skládají do sebe.

• zapisuje se f \circ g
• druhá se vkládá do první: f(g(x))
• pro funkce musí platit H(g) \subset D(f)
• výsledný definiční obor je x \in D(g)

Průběh funkce

Hrubé schéma

1. D_f + limity v krajních bodech
2. spojitost na D_f, body nespojitosti
3. symetrie (sudá / lichá)
4. periodicita
5. znaménko f(x) + průsečíky s osou x
6. znaménko f'(x) + monotonie + extrémy
7. znaménko f''(x) + konvexita/konkávita + inflexe
8. asymptoty v krajních bodech D_f
9. H_f