FAV-ZCU/KMA M1/7. Neurčité integrály.md

Neurčité integrály

Primitivní funkce

Mějme funkce f a F, které jsou definované alespoň na intervalu (a;b), kde -\infty \leq a < b \leq +\infty. Řekněme, že funkce F je primitivní funkcí k funkci f na intervalu (a;b), pokud

\forall \space x \in (a;b) : F'(x) = f(x).

Nechť F je primitivní funkce k funkci f na intervalu (a; b). Potom platí:

1. F je spojitá na (a; b).
2. Každá funkce ve tvaru y = F (x) + C, kde C \in \mathbb{R}, je primitivní funkcí k funkci f na (a; b).
3. Každá primitivní funkce k funkci f na (a; b) je ve tvaru y = F (x) + C, kde C \in R.

Neurčitý integrál

Mějme funkce f a F, které jsou definované alespoň na intervalu (a;b), kde -\infty \leq a < b \leq +\infty. Existuje-li primitivní funkce F k funkci f na (a;b), potom říkáme, že funkce f je integrovatelná na intervalu (a;b) a neurčitým integrálem funkce f na intervalu (a;b) rozumíme množinu všech primitivních funkcí k funkci f na (a;b):

\int f(x) \, dx = \{F(x) + C : C \in \mathbb{R}\} \quad (\text{píšeme jen } F(x) + C; C \in \mathbb{R})

Je-li funkce f spojitá na intervalu (a; b), potom je na tomto intervalu integrovatelná.

Linearita neurčitého integrálu

Mějme funkce f, g, které jsou integrovatelné na intervalu (a;b). Potom na intervalu (a;b) platí

1. \displaystyle\int (f(x)+g(x)) \, dx = \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx,
2. \displaystyle\int cf(x) \, dx = c \int f(x) \, dx, \quad c\in \mathbb{R} \setminus \{ 0 \}.

Per-partes

Mějme funkce u, v, které mají konečné derivace ve všech bodech intervalu (a;b). Potom na intervalu (a;b) platí

• \displaystyle\int u(x)v'(x) \, dx = u(x)v(x) - \int u'(x)v(x) \, dx,

pokud integrál na pravé straně existuje.

Cyklické integrály

Některé integrály se mohou cyklit (typicky ty obsahující goniometrické funkce nebo $e^x$).

Postup:

• Postupujeme podle per-partes (a zachováváme pořadí, ve kterém jsme dosazovali).
• Po několika krocích se dostaneme do stavu, kdy se ve výsledku opět objeví stejný integrál jako v zadání.
• Vytvoříme rovnici původní integrál = aktuální postup a vyjádříme původní integrál (většinou přičtením a vydělením dvěma).

1. substituční metoda

Mějme funkci f, která je spojitá na intervalu (c;d). Dále mějme funkci g: y = g(x), která má konečnou derivaci ve všech bodech intervalu (a;b) a H(g) \subset (c;d). Potom na intervalu (a;b) platí

\displaystyle\int f(g(x))g'(x) \, dx = \int f(y) \, dy  

dosadíme-li napravo x = g(y).

2. substituční metoda

Mějme funkci f, která je spojitá na intervalu (c;d). Dále mějme funkci g: y = g(x) s definičním oborem D(g) = (a;b) a oborem hodnot H(g) = (c;d), která má konečnou a nenulovou derivaci ve všech bodech x \in D(g). Potom na intervalu (c;d) platí

\displaystyle\int f(y) \, dy = \int f(g(x))g'(x) \, dx 

dosadíme-li napravo x = g^{-1}(y).

Integrační vzorce

funkce	integrace
0	C
1	x + C
x^n	\displaystyle\frac{x^{n+1}}{n+1} + C
\displaystyle\frac{dx}{x}	\ln \vert x\vert + C
e^x	e^x + C
a^x	\displaystyle\frac{a^x}{\ln(a)} + C
\sin(x)	-\cos(x) + C
\cos(x)	\sin(x) + C
\displaystyle\frac{dx}{\cos^2x}	\tan(x) + C
\displaystyle\frac{dx}{\sin^2x}	-\cot(x) + C
\displaystyle\frac{dx}{1+x^2}	\arctan(x) + C
\displaystyle\frac{dx}{\sqrt{ 1-x^2 }}	\arcsin(x) + C

Vzorečky na typ s goniometrickými funkcemi (sin, cos)

• \displaystyle\int \sin(x) \cdot \sin(y) \, dx = \frac{1}{2} \int(\cos(y-x)-\cos(x+y)) \, dx
• \displaystyle\int \sin(x) \cdot \cos(y) \, dx = \frac{1}{2} \int (\sin(x+y)-\sin(y-x)) \, dx
• \displaystyle\int \cos(x) \cdot \cos(y) \, dx = \frac{1}{2} \int (\cos(x+y)+\cos(y-x)) \, dx