FAV-ZCU/KMA M1/8. Určité integrály.md

Určité integrály

Mějme uzavřený interval \langle a;b \rangle, kde -\infty<a<b<+\infty. Dělením intervalu \langle a;b \rangle rozumíme konečnou posloupnost D = (x_{0}, x_{1}, \dots, x_{n}), n \in \mathbb{N}, bodů z intervalu \langle a;b \rangle tak, že platí

a = x_{0} < x_{1} < x_{2} < \dots < x_{n-1} < x_{n} = b

kde čísla x_i jsou dělící body intervalu.

Integrální součty

1. Horní integrální součet funkce f příslušný dělení D je číslo \displaystyle s(f, D) = \sum_{i=1}^n \inf_{x \in \langle x_{i-1};x_{i} \rangle} f(x) \cdot \Delta x_{i}.
2. Dolní integrální součet funkce f příslušný dělení D je číslo \displaystyle S(f, D) = \sum_{i=1}^n \sup_{x \in \langle x_{i-1};x_{i} \rangle} f(x) \cdot \Delta x_{i}.

Riemannovsky integrovatelná funkce

Mějme funkci f, která je definovaná a omezená na uzavřeném intervalu \langle a;b \rangle. Dále uvažujeme množinu \mathcal{D} všech možných dělení D tohoto intervalu \langle a;b\rangle.

Řekneme, že funkce f je (Riemannovsky) integrovatelná na intervalu \langle a;b\rangle, pokud existuje číslo I \in \mathbb{R} takové, že platí

\displaystyle I = \sup s(f,D) = \inf S(f,D); D \in \mathcal{D}.

Číslo I potom nazýváme určitý integrál funkce f na intervalu \langle a; b \rangle a píšeme \displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \, dx = I.

Dále pro a>b definujeme

\int_{a}^b f(x) \, dx = - \int_{b}^a f(x) \, dx, \qquad \int _{a}^a f(x) \, dx = 0.

Je-li funkce f spojitá na intervalu \langle a;b \rangle, potom je na tomto intervalu integrovatelná.

Newtonova-Leibnizova věta

Mějme funkci f, která je Riemannovsky integrovatelná na intervalu \langle a;b \rangle. Dále mějme funkci F, která je spojitá na intervalu \langle a;b \rangle a je primitivní funkcí k funkci f na (a;b). Potom platí

\displaystyle \int^b_{a} f(x) \, dx = [F(x)]^b_{a} = F(b) - F(a). 

Linearita určitého integrálu

Mějme funkce f, g, které jsou integrovatelné na intervalu \langle a;b \rangle. Potom platí:

1. \displaystyle\int^b_{a} (f(x) + g(x)) \, dx = \int_{a}^b f(x) \, dx + \int _{a}^b g(x) \, dx
2. \displaystyle\int_{a}^b cf(x) \, dx = c \int_{a}^b f(x) \, dx, \quad c \in \mathbb{R}

Aditivita určitého integrálu

Mějme funkci f, která je integrovatelná na intervalu \langle a;b \rangle. Pro libovolné c \in (a;b) potom platí

\int_{a}^b f(x) \, dx = \int_{a}^c f(x) \, dx + \int_{c}^b f(x) \, dx

Per-partes

Mějme funkce u, v, které jsou spojité na intervalu \langle a;b \rangle a jejich derivace u', v' jsou integrovatelné na tomto intervalu. Potom platí

\int_{a}^b f(g(x))g'(x) \, dx = \int_{g(a)}^g(b) f(y) \, dy.

Věta o střední hodnotě

Je-li funkce f spojitá a intervalu \langle a; b \rangle, potom existuje \xi \in (a;b) takové, že platí

\int_{a}^{b} f(x) \, dx = f(\xi) \cdot (b-a).

Nezápornost určitého intergálu

Mějme funkci f, která je spojitá na intervalu \langle a; b \rangle. Potom platí

\forall \, x \in \langle a; b \rangle : f(x) \geq 0 \quad \implies \quad \int_{a}^b f(x) \, dx \geq 0.

Monotonie určitého integrálu

Mějte funkce f a g, které jsou spojité na intervalu \langle a; b \rangle. Potom platí

\forall \, x \in \langle a; b \rangle : f(x) \leq g(x) \quad \implies \quad \int_{a}^b f(x) \, dx \leq \int_{a}^b g(x) \, dx