2.1 KiB
Taylorův polynom
Nahrazení nějaké složité funkce (\sin, \cos, \ln) za jinou polynomickou funkci n-tého stupně, která na konkrétním okolí zjišťovaného bodu dostatečně aproximuje tu původní.
Mějme funkci f, kterou chceme aproximovat v bodě x_{0}. Po Taylorovu polynomu budeme požadovat, aby platila rovnost funkčních hodnot a také každé derivace až do stupně n.
T_{n}(x_{0}) = f(x_{0})T_{n}^{(n)}(x_{0}) = f^{(n)}(x_{0})
Taylorův polynom tedy bude vypadat následovně.
T_{n}(x) = a_{0} + a_{1}(x-x_{0}) + a_{2}(x-x_{0})^2 + \dots + a_{n}(x-x_{0})^n
Platí tedy:
\begin{matrix}
f(x_{0}) = T_{n}(x_{0}) = a_{0} \\
f'(x_{0}) = T_{n}'(x_{0}) = a_{1} \\
f''(x_{0}) = T_{n}''(x_{0}) = 2a_{2} \\
\vdots \\
f^{(n)}(x_{0}) = T_{n}^{(n)}(x_{0}) = n! \, a_{n}
\end{matrix}
Definice Taylorova polynomu
Mějme funkci f : D \to \mathbb{R}, bod x_{0} \in D, ve kterém má funkce f konečné derivace až do řádu n \in \mathbb{N} včetně. Taylorův polynom (nejvýše) $n$-tého stupně funkce f v bodě x_{0} je polynom
T_{n}(x) = f(x_{0}) + f'(x_{0})(x-x_{0}) + \dots + \frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^n.
Aproximace pomocí diferenciálů
Chci zjistit hodnotu \sin(29°).
\displaystyle f(x) = \sin(x) \qquad x_{0}+h = \frac{29\pi}{180}.
Znám hodnotu \sin(30°) = \frac{1}{2}.
\displaystyle x_{0} = \frac{30\pi}{180} = \frac{\pi}{6} \qquad h = -\frac{\pi}{180}
Zjistím směrnici tečny v bodě x_{0}.
f'(x_{0}) = A
Rovnice, kde \tau je nová funkce a A je derivace.
f(x_{0}+h) - f(x_{0}) = \tau(h) + A \cdot h
Vypustím chybu ($\tau$) a získám přibližnou rovnost.
f(x_{0}+h) - f(x_{0}) \approx f'(x_{0}) \cdot hf(x_{0}+h) \approx f'(x_{0}) \cdot h + f(x_{0})
Získám přibližný výsledek:
\displaystyle f\left( \frac{29\pi}{180} \right) \approx f'\left( \frac{\pi}{6} \right) \cdot \left( -\frac{\pi}{180} \right) + f\left( \frac{\pi}{6} \right)\displaystyle f\left( \frac{29\pi}{180} \right) \approx \frac{\sqrt{ 3 }}{2} \cdot \left( -\frac{\pi}{180} \right) + \frac{1}{2} = \frac{180-\sqrt{ 3 }\pi}{360}