FAV-ZCU/KMA M1/Příklady.md

Řešení příkladů

Limita se zlomkem

\displaystyle\lim_{ n \to \infty } \left(\frac{2n^3+3n}{3n^3+n^2}\right) = \frac{2}{3}

• Ve jmenovateli i čitateli jsou nejvyšší mocniny n^a stejné (zde $n^3$), proto se limita bude rovnat koeficientům před nimi ve zlomku.

\displaystyle\lim_{ n \to \infty } \left(\frac{3n^2 + n}{5n - 4}\right) = +\infty

• Pokud je v čitateli vyšší mocnina n^a než ve jmenovateli, je limita +\infty.

\displaystyle\lim_{ n \to \infty } \left(\frac{2n^3 + n^2}{9n^4 - 2n}\right) = 0

• Pokud je ve jmenovateli vyšší mocnina n^a než v čitateli, je limita 0.

\displaystyle\lim_{ n \to \infty } \left( \frac{n^2}{n+3} - \frac{n^2}{n+2} \right) = \lim_{ n \to \infty } \left( \frac{n^3+2n^2-n^3-3n^2}{(n+3)(n+2)} \right) = \dots

• Pokud jsou v limitě dva zlomky, které po dosazení vyjdou jako neurčitý výraz, je potřeba je roznásobit.

Limita s odmocninou

\displaystyle\lim_{ n \to \infty } \left(\sqrt{ n+1 } - \sqrt{ n }\right) = \lim_{ n \to \infty } \left(\frac{n+1-n}{\sqrt{ n+1 } + \sqrt{ n }}\right) = 0

• Vynásobíme \displaystyle\frac{\sqrt{ n+1 } + \sqrt{ n }}{\sqrt{ n+1 } + \sqrt{ n }}, čímž získáme \frac{n+1-n}{\sqrt{ n+1 } + \sqrt{ n }}. (Využití vzorečku (a-b)(a+b) = a^2-b^2.)

Limita s Eulerovým číslem

\displaystyle\lim_{ n \to \infty } \left( 1 + \frac{1}{n+5} \right)^{n-3} = e

• Hodnota před n je stejná jak ve jmenovateli, tak v mocnině, limita je tedy e^1 (na číslo v čitateli zlomku).

\displaystyle\lim_{ n \to \infty } \left( 1 + \frac{-1}{n+9} \right)^{7n} = \lim_{ n \to \infty } \left( 1 + \frac{-7}{7n+63} \right)^{7n} = e^{-7}

• Hodnota před n není ve jmenovateli a v mocnině stejná, proto musím zlomek vynásobit vhodným číslem, aby tato rovnost platila, v tomto případě číslem 7.

\displaystyle\lim_{ n \to \infty } \left( 1+\frac{9}{n^2} \right)^{7-5n^3} = e^{\frac{n^2}{-n^3}} = 0

• Každé n je umocněno jiným číslem, proto výsledek zapíšu jako e umocněné na \displaystyle\frac{\text{jmenovatel}}{\text{mocnina}} a tento výraz dále upravuji.

Limita funkce

Je podobná limitě posloupnosti. Jestliže jde k nějaké určité hodnotě, tak jí zkusíme dosadit a případně vhodně upravit. Existuje také limita zleva (mínus), kde dosazujeme hodnotu trochu menší než dané číslo, případně limita zprava, kde naopak dosazujeme o trochu větší hodnotu.

Derivace

K derivování funkce stačí použít vzorečky v derivacích funkce, není na tom nic příliš složitého.

Neurčitý intergrál

Při integrování musíme vždy zvolit vhodnou metodu řešení, tedy

• pokud máme ve funkci součin, použijeme metodu per partes,
• pokud máme ve funkci např. vysokou mocninu či odmocninu, použijeme substituci.

Při počítání metodou per partes se také po několika krocích můžeme dostat ke stejnému integrálu jako v zadání (zpravidla u funkcí \sin a $\cos$), jedná se poté o cyklický per partes a je potřeba postupovat následovně.

• Postupujeme podle per-partes (a zachováváme pořadí, ve kterém jsme dosazovali).
• Po několika krocích se dostaneme do stavu, kdy se ve výsledku opět objeví stejný integrál jako v zadání.
• Vytvoříme rovnici původní integrál = aktuální postup a vyjádříme původní integrál (většinou přičtením a vydělením dvěma).

Určitý integrál

Průběh funkce

V příkladech bude pracováno s funkcí f(x) = -2x^4 + 4x^2 + 6.

Definiční obor:

Pokud máme jednu funkci (např. $f(x) = \log(3x+2)$), stačí vypočítat lineární nerovnici 3x + 2 > 0. Výsledkem bude x > -\frac{2}{3}, takže tedy D(f) = \left( -\frac{2}{3}, \infty \right).

Pro více funkcí je potřeba funkce rozložit na vnější a vnitřní a poté postupně zjišťovat definiční obory.

• Pro ukázku určíme definiční obor funkce \displaystyle f(x) = \sqrt{ \frac{x+3}{4-2x} }, v tomto případě má odmocnina D\geq 0.
• Napíšeme si rovnici \displaystyle \frac{x+3}{4-2x} \geq 0 a do grafu načrtneme funkce a jejich průsečíky s osou x (nulové body).
• Vidíme, že celý zlomek bude kladný, jestliže v čitatel i jmenovateli vyjde stejné znaménko, takže si do grafu zapíšeme výsledná znaménka. Nesmíme zapomenout také na to, jestli nám někde nevyjde 0 ve jmenovateli.
• Z grafu poté zjistíme, že D(f) = \langle -3; 2 ).

funkce	definiční obor
\log(x)	(0, \infty)
\sqrt{x}	\langle0, \infty)
\tan(x)	\mathbb{R} - \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \right\}; k \in \mathbb{Z}
\cot(x)	\mathbb{R} - \left\{ k\pi \right\}; k \in \mathbb{Z}

Limity v krajních bodech D(f):

Vypočítám limitu jdoucí ke krajům D(f), v případě D(f) = (-\infty, \infty):

• \displaystyle \lim_{ n \to -\infty } f(x) = \dots
• \displaystyle \lim_{ n \to \infty } f(x) = \dots

Sudost / lichost funkce:

• sudá: f(x) = f(-x)
• lichá: -f(x) = f(-x)

Průsečíky s osami:

osa	dosazení
s osou y	y = 0 + 0 + 6	x = 0
s osou x	0 = -2x^4 + 4x^2 + 6	y = 0

První derivace - monotonie a lokální extrémy funkce:

• f'(x = -8x^3 + 8x = 8x(1-x)(1+x)

Nulové body: \{0, 1, -1\}

V prvním kroce zderivuji funkci f(x) a ze získané funkce f'(x) mohu zjistit, kde je funkce rostoucí a klesající. Funkci je dobré si rozložit na součin, aby byly zřejmé nulové body, tedy body, kde funkce nebude růst ani klesat. Je také možné najít lokální maxima a minima.

	(-\infty, -1)	(-1, 0)	(0, 1)	(1, \infty)
8x	-	-	+	+
(1-x)	+	+	+	-
(1+x)	-	+	+	+
f'(x)	+	-	+	-
f(x)	roste	klesá	roste	klesá

Existenci lokálního minima/maxima ověříme druhou derivací.

• lokální maxima: f(-1) = f(1) = 8
• lokální minimum: f(0) = 6

Druhá derivace - konvexita/konkávita, inflexní body:

• f''(x) = -24x^2 + 8 = 8(1-\sqrt{ 3 }x)(1+\sqrt{ 3 }x)

Ověření lokálních maxim a minim provedeme zjištěním druhé derivace v podezřelých bodech.

• f''(-1) = f''(1) = -16 < 0, \quad jedná se tedy o lokální maxima
• f''(0) = 8 > 0, \quad jedná se tedy o lokální minimum

Poté najdu nulové (inflexní) body pomocí druhé derivace a určím jejich hodnotu na původní funkci:

• \left\{ \frac{\sqrt{ 3 }}{3}, -\frac{\sqrt{ 3 }}{3} \right\}
• f\left( \frac{\sqrt{ 3 }}{3} \right) = f\left( -\frac{\sqrt{ 3 }}{3} \right) = 7 + \frac{1}{9}