5.4 KiB

Raw Blame History

Determinant matice

Permutace

Vzájemně jednoznačné zobrazení konečné množiny na sebe.


\pi_{1} = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
5 & 3 & 2 & 1 & 4
\end{pmatrix} \qquad \pi_{2} = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
2 & 4 & 3 & 1 & 5
\end{pmatrix}

Můžeme je skládat (stejně jako funkce):


\pi_{1} \circ \pi_{2} = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
5 & 3 & 4 & 2 & 1
\end{pmatrix} \qquad \pi_{2} \circ \pi_{1} = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
1 & 3 & 2 & 5 & 4
\end{pmatrix}

Transpozice

Permutace \pi, pro kterou existují i, j takové, že \pi(i) = j, \pi(j) = i a \pi(k) = k pro všechna k \neq i, j.

v transpozici dojde pouze k prohození dvou prvků


J_{1} = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
1 & 4 & 3 & 2 & 5
\end{pmatrix} \qquad J_{2} = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
2 & 1 & 3 & 4 & 5
\end{pmatrix}

Každá permutace se dá vyjádřit jako složení konečného počtu transpozic.


\pi_{2} = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
2 & 4 & 3 & 1 & 5
\end{pmatrix} = J_{1} \circ J_{2} = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
1 & 4 & 3 & 2 & 5
\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
2 & 1 & 3 & 4 & 5
\end{pmatrix}

Znázornění jednotlivých transpozic (směrem dolů):


\downarrow \quad \begin{matrix}
\text{začátek} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
J_{1} & 1 & \mathbf{4} & 3 & \mathbf{2} & 5\\
J_{2} & \mathbf{2} & 4 & 3 & \mathbf{1} & 5
\end{matrix}

Znaménko permutace `\pi`

Permutace je sudá nebo lichá podle sudého nebo lichého počtu transpozic.


zn(\pi) = \begin{cases}1, \text{je-li } \pi \text{ sudá} \\ -1, \text{je-li } \pi \text{ lichá}\end{cases}

Znaménko permutace vzniklé složením dvou permutací se rovná součinu znamének každé permutace.

zn(\pi_1 \circ \pi_{2}) = zn(\pi_{1}) \cdot zn(\pi_{2})

Determinant

Determinantem čtvercové matice A = [a_{ij}] řádu n nazveme číslo

\det(A) = \sum_{\pi}^{} zn(\pi)a_{1\pi(1)}a_{2\pi(2)}\dots a_{n\pi(n)}

kde sčítáme přes všechny permutace na množině \{1, 2, \dots, n\}.

determinant je suma všech permutací vzniklých z diagonálního řádku matice, kde sudá permutace je s kladným znaménkem a lichá se záporným
v součinu prvků v definici determinantu je z každého řádku a z každého sloupce vybrán právě jeden prvek
\det(A) = \det(A^{T})

Algebraický doplněk matice

Subdeterminant (minor) vzniklý z matice vynecháním $i$-tého řádku a $j$-tého sloupce.

(-1)^{i+j} \det A[\cancel{i/j}]

Symbolem A[\cancel{i/j}] značíme matice A s vynechaným $i$-tým řádkem a $j$-tým sloupcem.

Rozvoj podle i-tého řádku (sloupce)

Nechť A je čtvercová matice řádu n a i \in {\{ 1, 2, \dots, n \}}.

\displaystyle \det(A) = a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2} + \dots + a_{in}A_{in} = \sum_{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij}

Elementární úpravy:

prohození dvou řádků matice
- obracím znaménko
vynásobení (vydělení) řádku matice nenulovým číslem
- vytknu číslo před determinant
přičtení $k$-násobku $i$-tého řádku k $j$-tému

Pro determinanty můžeme využívat analogicky i sloupcové elementární úpravy, protože \det(A) = \det(A^T).

Rozvojem se řeší všechny determinanty řádu \geq 4.

Vlastnosti determinantu

\det I = 1
Výměna řádků otočí znaménko
Vynásobení řádku číslem a znamená a \cdot \det \dots
\displaystyle\begin{bmatrix}a+a' & b+b' \\ c & d\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a & b \\ c & d\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}a' & b' \\ c & d\end{bmatrix}
Dva stejné řádky/sloupce \implies \det A = 0
Řádek/sloupec samých nul \implies \det A = 0
Přičtení $a$-násobku jiného řádku \implies \det A je stejný
Trojúhelníková matice \implies \det A je součin prvků na diagonále
Singulární matice \implies \det A = 0 (regulární $\implies \det A \neq 0$)
\det A \cdot B = \det A \cdot \det B\quad\left( \det A^{-1} = \frac{1}{\det A} \right)
\det A^T = \det A

Věty

Nechť matice B vznikne z matice A prohozením dvou řádků (sloupců). Potom \det(B) = -\det(A).

DK: Prohozením dvou řádků (sloupců) se změní počet transpozic v každé permutaci o 1, tedy znaménka se změní v opačná. Z definice determinantu pak plyne, že determinant vyjde opačný k \det(A).

Má-li matice A dva stejné řádky nebo sloupce, potom \det(A) = 0.

DK: Matice B vznikne z matice A prohozením dvou stejných řádků (sloupců).
musí platit zároveň, že:
- \det(B) = -\det(A) z předchozí věty, tedy 0 = -0
- matice B = A, tedy \det(B) = \det(A), proto 0 = 0
Z toho plyne, že determinant je nulový, tedy \det(A)=\det(B)=0.

Nechť matice B vznikne z matice A vynásobením $i$-tého řádku (sloupce) číslem c. Potom \det(B) = c \cdot \det(A).

DK: Rozvoj v matici B podle $i$-tého řádku:
\det(B) = (c \cdot a_{i1} \cdot A_{i1} + c \cdot a_{i2} \cdot A_{i2} + \dots + c \cdot a_{in} \cdot A_{in}) = c \cdot (a_{i1} \cdot A_{i1} + a_{i2} \cdot A_{i2} + \dots + a_{in}*A_{in}) = c \cdot det(A)

Má-li matice A nějaký řádek nebo sloupec nulový, potom \det(A) = 0

DK: Rozvojem podle nulového řádku (či sloupce).

Nechť matice B vznikne z matice A přičtením $c$-násobku $i$-tého řádku (slupce) k $j$-tému řádku (sloupci) ($i \neq j$). Potom \det(B) = \det(A).

Nechť A, B jsou matice řádu n. Potom \det(A \cdot B) = det(A) \cdot det(B).

5.4 KiB Raw Blame History