FAV-ZCU/KMA DMA/Prednaska04.md

• neporovnatelné prvky a, b ... a \Vert b
  • neplatí a\leq b \vee b\leq a
• úplné (lineární) uspořádání ... každé dva prvky jsou porovnatelné
  • (\mathbb{R}, \leq)
• (X, \leq) poset, C \subseteq X je řetězec (řetízek), pokud platí, že každé 2 různé prvky x, y \in C jsou porovnatelné
  • A \subseteq X je antiřetězec (antiřetízek) : každé 2 různé prvky jsou neporovatelné
• (X, \leq) poset, řekneme, že (Y \leq_{y}) je podposet (X, \leq)
  • Y \subseteq X, \quad \leq_{y} \, = \, \leq \cap \space (Y \times Y)

Lineární rozšíření posetu

Věta: (X, \leq) konečný poset, d á se vždy lineárně rozšířit

• i nekonečný, je ale potřeba axiom výběru

Výška posetu P = (X, \leq) ... height(P)

• největší h takové, že v něm existuje řetězec velikosti h

Šířka posetu P = (X, \leq) ... width(P)

• největší w takové, že v P existuje antiřetězec velikosti w

Věta (Dilworth) ... P = (X, \leq) poset, width(P) = w

• pak existuje rozklad množiny X na podmnožiny C_{1}, \dots, C_{w}
• "Céčka" vzájemně disjunktní tak, že C_i je řetězec
• navíc neexistuje rozklad na méně řetězců

Věta (duální Dilworthova věta)

• P = (X, \leq) poset, h = height(P), pak existuje rozklad X = A_{1} \cup \dots \cup A_{h} tak, že A_i json antiřetězce
• navíc neexistuje rozklad na méně než h antiřetězců

Př.: Hasseův diagram (\mathbb{N}, I)

Př.: uspořádání množin inkluzí X

• (2^x, \leq)
• A \cap B \quad největší množina na množině všech společných podmnožin A a B
• A \cup B \quad nejmenší společná nadmnožina

Def.:

• poset (X, \leq)
  • a, b \in X \quad c \in X t. ž. c \leq a \wedge c \leq b \quad dolní závora
  • a, b \in X \quad d \in X t. ž. d \leq a \wedge d \leq b \quad horní závora
• \sup(a,b) nejmenší horní závora
• \inf(a,b) největší dolní závora

Definice svazu: P = (X, \leq) poset, řekněme, že P je svaz, pokud

• \forall \, x, y \in X \quad \exists \, \inf(x,y) \wedge \exists \, \sup(x, y)

Př.: svazy a nesvazy

dvojí pohled na svazy

• (X, \leq) poset \to \wedge, \vee \quad a \leq b \iff a \wedge b = a \iff a \vee b = b
• (X, \wedge, \vee)

Def.: (X, \wedge_{x}, \vee_{x}) svaz, (Y, \wedge_{y}, \vee_{y}) je podsvazem (X, \wedge_{x}, \vee_{x}) když platí : Y \leq X

• \forall a, b \in Y : a \wedge_{y} b = a \wedge_{x} b
• \forall a, b \in Y : a \vee_{y} b = a \vee_{x} b

Tvrzení: (X, \wedge, \vee) svaz

• \forall \, x, y, z \in X

1. x \vee x = x \quad idempotentnost \quad x \wedge x = x
2. x \vee y = y \vee x \quad komutativita \quad x \wedge x = y \wedge x
3. (x \vee y) \vee z = x \vee (y \vee x) \quad asociativita \quad (x \wedge y) \wedge z = x \wedge (y \wedge x)
4. x \vee (y \wedge x) = x \quad absorbce \quad x \wedge (y \vee x) = x

Princip duality

• pokud v libovolném pravdivém tvrzení o svazech platném pro všechny svazy nahradíme
  • \wedge \to \vee
  • \vee \to \wedge
  • \leq \, \to \, \geq
• získáme opět pravdivé tvrzení
• pro množiny
  • A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)
  • A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)
  • distributivita pro \cup, \cap

Distributivní svaz (X, \wedge, \vee)

• \forall \, a, b, c \in X : a \wedge (b \vee c) = (a \wedge b) \vee (a \wedge c)

Tvrzení: v distrib. svazu platí i

• \forall \, a, b, c \in X : a \vee (b \wedge c) = (a \vee b) \wedge (a \vee c)
• neplyne z principu duality

Věta (Birkhoff) X svaz

• (X, \wedge, \vee) je distributivní \iff (X, \wedge, \vee) neobsahuje jako podsvaz M_{5}, N_{5}
  • ty nejsou distributivní
  • a \wedge (v \vee c) = a \wedge 1 = a \quad \neq \quad (a \wedge b) \vee (a \wedge c) = 0 \vee 0 = 0
  • a \vee (v \wedge c) = a \quad \neq \quad (a \vee b) \wedge (a \vee c) = 0

Tvrzení: v konečném svazu \exists nejmenší a největší prvek

• Dk.: X = \{ x_{1}, \dots, x_{n} \}
  • x_{1} \vee \dots \vee x_{n} \geq x_{i} \, \forall \, i = 1, \dots, n \quad největší prvek
  • x_{1} \wedge \dots \wedge x_{n} \leq x_{i} \, \forall \, i = 1, \dots, n \quad nejmenší prvek
• označení:
  • 0 - nejmenší prvek
  • 1 - největší prvek

Komplement prvku: (X, \wedge, \vee) konečný, 1 nejv. prvek, 0 nejm. prvek

• a \in X \quad komplement \overline a \in X
  • a \wedge \overline a = 0
  • a \vee \overline a = 1
• svaz takový, že \forall a \in X \quad \exists komplementární svaz