Úprava poznámek k determinantu v LAA

KMA LAA/4. Determinant matice.md

@@ -1,33 +1,45 @@
 # Determinant matice
+
 ## Determinant
-- **Determinantem** čtvercové matice A = $[a_{ij}]$ řádu n je číslo: det(A) = $ \sum_{\pi}^{} zn(\pi)a_{1\pi(1)}a_{2\pi(2)}...a_{n\pi(n)} $
-- kde sčítáme přes všechny permutace na množině {1, 2, ..., n}
+
+- **determinantem** čtvercové matice $A = [a_{ij}]$ řádu n je číslo: $\det(A) = \sum_{\pi}^{} zn(\pi)a_{1\pi(1)}a_{2\pi(2)}\dots a_{n\pi(n)}$ kde sčítáme přes všechny permutace na množině $\{1, 2, \dots, n\}$
 - determinant je suma všech permutací vzniklých z diagonálního řádku matice, kde sudá permutace je s kladným znaménkem a lichá se záporným
 - v součinu prvků v definici determinantu je z každého řádku a z každého sloupce vybrán právě jeden prvek
-- $ det(A) = det(A^{T}) $
-- algebraický doplňek prvku $ (-1)^{i+j} det A[\cancel{i/j}] $ subdeterminant (minor) vzniklý z matice vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce.
+- $det(A) = det(A^{T})$
+- algebraický doplňek prvku $(-1)^{i+j} \det A[\cancel{i/j}]$
+- subdeterminant (minor) vzniklý z matice vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce.
 
 ### Rozvoj podle i-tého řádku
+
 - A je čtvercová matice řádu n
-- $ i = \in {\{ 1, 2, ..., n  \}} $
-- $ det(A) = a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2} + ... + a_{in}A_{in} = \sum_{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij} $
+- $i = \in {\{ 1, 2, ..., n  \}}$
+- $det(A) = a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2} + ... + a_{in}A_{in} = \sum_{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij}$
 - elementární úpravy:
     - prohození dvou řádků matice
     - vynásobení (vydělení) řádku matice nenulovým číslem
-    - přičtení k-násobku i-tého řádku k j-tému
-- pro determinanty můžeme využívat analogicky sloupcové elementární úpravy
+    - přičtení $k$-násobku $i$-tého řádku k $j$-tému
+- pro determinanty můžeme využívat analogicky i sloupcové elementární úpravy
 
 ### Věty
-- nechť matice B vznikne z matice A prohozením dvou řádků (sloupců) => det(B) = -det(A)
-    - DK: prohozením dvou řádků (sloupců) se změní počet transpozic v každé permutaci o 1, tedy znaménka se změní v opačná
-    - z definice determinantu pak plyne, že vyjde opačný k det(A)
-- má-li matice A **dva stejné řádky** nebo **sloupce** => **det(A) = 0**
-    - DK: B vznikne z matice A prohozením dvou stejných řádků (sloupců)
-    - det (B) = -det(A) z předch. věty a B=A, tedy det(B) = det(A) => det(A)=det(B)=0
-- nechť matice B vznikne z matice A vynásobením i-tého řádku (sloupce) číslem c => det(B) = c*det(A)
-    - DK: rozvoj v B podle i-tého řádku:
-    - $ det(B) = (c*a_{i1}*A_{i1} + c*a_{i2}*A_{i2} + ... + c*a_{in}*A_{in}) = c * (a_{i1}*A_{i1} + a_{i2}*A_{i2} + ... + a_{in}*A_{in}) = c * det(A) $
-- má-li matice A nějaký řádek nebo sloupec nulový => det(A) = 0
-    - DK: rozvojem podle nulového řádku (sloupce)
-- nechť matice B vznikne z matice A přičtením c-násobku i-tého řádku (slupce) k j-tému řádku (sloupci) (i $ \cancel = $ j) => det(B) = det(A)
-- nechť A, B jsou matice řádu n => det(A*B) = det(A) * det(B)
+
+Nechť matice B vznikne z matice A prohozením dvou řádků (sloupců). Potom $\det(B) = -\det(A)$.
+- **DK**: Prohozením dvou řádků (sloupců) se změní počet transpozic v každé permutaci o 1, tedy znaménka se změní v opačná.
+- z definice determinantu pak plyne, že determinant vyjde opačný k $det(A)$
+
+Má-li matice A **dva stejné řádky** nebo **sloupce**, potom $\det(A) = 0$.
+- **DK**: Matice B vznikne z matice A prohozením dvou stejných řádků (sloupců).
+- musí platit zároveň, že:
+	- $\det(B) = -\det(A)$ z předchozí věty, tedy $0 = -0$
+	- matice $B = A$, tedy $\det(B) = \det(A)$, proto $0 = 0$
+- Z toho plyne, že determinant je nulový, tedy $\det(A)=\det(B)=0$.
+
+Nechť matice B vznikne z matice A vynásobením $i$-tého řádku (sloupce) číslem $c$. Potom $\det(B) = c \cdot \det(A)$.
+- **DK**: Rozvoj v matici B podle $i$-tého řádku:
+- $\det(B) = (c \cdot a_{i1} \cdot A_{i1} + c \cdot a_{i2} \cdot A_{i2} + \dots + c \cdot a_{in} \cdot A_{in}) =$ $c \cdot (a_{i1} \cdot A_{i1} + a_{i2} \cdot A_{i2} + \dots + a_{in}*A_{in}) = c \cdot det(A)$
+
+Má-li matice A nějaký řádek nebo sloupec nulový, potom $\det(A) = 0$
+- **DK**: Rozvojem podle nulového řádku (či sloupce).
+
+Nechť matice B vznikne z matice A přičtením $c$-násobku $i$-tého řádku (slupce) k $j$-tému řádku (sloupci) ($i \neq j$). Potom $\det(B) = \det(A)$.
+
+Nechť A, B jsou matice řádu $n$. Potom $\det(A \cdot B) = det(A) \cdot det(B)$.