Přidání 1. a 2. části teorie z TI

KIV TI/01. Konečné automaty.md

@@ -0,0 +1,88 @@
+# Konečné automaty
+
+obecné vlastnosti
+- konečný počet stavů
+- konečný počet vstupů (vstupních symbolů nebo vstupních událostí)
+- následující stav je jednoznačně určen stavem a vstupním symbolem
+- jednoznačně určený počáteční stav
+
+neřešíme, jakým způsobem zařízení vydává výsledek
+
+### Typy automatů
+
+**Rozpoznávací automat**
+- o vstupním řetězci vydává rozhodnutí typu **ano**/**ne**
+- **definice**: $A = \left( Q, \sum, \delta, q_{o}, F \right)$
+	- $Q$ - konečná neprázdná množina stavů
+	- $\sum$ - konečná neprázdná množina vstupních symbolů
+	- $q_{0} \in Q$ - počáteční stav
+	- $\delta : Q \times \sum \to Q$ - přechodová funkce
+	- $F \subseteq Q$ - množina koncových stavů
+- **použití**
+	- řešení dílčích problémů v překladačích programovacích jazyků
+	- jednoduché úlohy AI
+
+**Klasifikační automat**
+- vstupní řetězec zařadí do jedné z *n* tříd
+- **definice**: $A = \left( Q, \sum, \delta, q_{o}, \{Q_{i}\} \right)$
+	- $Q$ - konečná neprázdná množina stavů
+	- $\sum$ - konečná neprázdná množina vstupních symbolů
+	- $q_{0} \in Q$ - počáteční stav
+	- $\delta : Q \times \sum \to Q$ - přechodová funkce
+	- $\{Q_{i}\}$ - rozklad množiny stavů (třídy)
+- **použití**
+	- jednoduché úlohy AI
+
+**Automat s výstupní funkcí** (překladový automat)
+- na základě vstupního řetězce vytvoří výstupní řetězec z výstupních symbolů
+- **použití**
+	- HW - modelování číslicových systémů
+	- modelování a návrh systémů logického řízení
+
+Automat Mealyho typu
+- výstupní posloupnost určena **posloupností přechodů**, kterými automat při zpracování řetězce prošel
+- výstupní řetězec má délku $n$
+- **definice**: $A = \left( Q, \sum, O, \delta, q_{o}, \lambda \right)$
+	- $Q$ - konečná neprázdná množina stavů
+	- $\sum$ - konečná neprázdná množina vstupních symbolů
+	- $O$ - konečná neprázdná množina výstupních symbolů
+	- $q_{0} \in Q$ - počáteční stav
+	- $\delta : Q \times \sum \to \quad$ - přechodová funkce
+	- $\lambda : Q \times \sum \to O$ - výstupní funkce
+- **použití**
+	- pro popis systémů s pulzními výstupy
+
+Automat Mooreova typu
+- výstupní posloupnost určena **posloupností stavů**, kterými automat při zpracování řetězce prošel
+- výstupní řetězec má délku $n + 1$
+- **definice**: $A = \left( Q, \sum, O, \delta, q_{o}, \lambda \right)$
+	- $Q$ - konečná neprázdná množina stavů
+	- $\sum$ - konečná neprázdná množina vstupních symbolů
+	- $O$ - konečná neprázdná množina výstupních symbolů
+	- $q_{0} \in Q$ - počáteční stav
+	- $\delta : Q \times \sum \to Q$ - přechodová funkce
+	- $\lambda : Q \to O$ - výstupní funkce
+- **použití**
+	- pro popis systémů s hladinovými výstupy
+
+**Konfigurace automatu, ekvivalence rozpoznávacích automatů**
+- konfigurací automatu $A = (Q, \sum, \delta, q_{0}, F)$ je každá uspořádaná dvojice $(q, v) \in Q \times \sum *$
+	- $q$ - aktuální stav automatu
+	- $v$ - doposud nezpracovaná část řetězce
+- automaty $A_{1}$ a $A_{2}$ jsou ekvivalentní, jestliže $L(A_{1}) = L(A_{2})$
+	- automaty jsou ekvivalentní, pokud rozpoznávají stejný jazyk
+	- ekvivalentní mohou být i automaty, které nemají stejný počet stavů
+
+**Způsob popisu konečných automatů**
+- přechodový graf (stavový diagram)
+- tabulka
+- stavový strom
+
+**Zobecněná přechodová funkce deterministického konečného automatu, její vztah k přechodové funkci**
+- přechodová funkce: $\delta: Q \times \sum \to Q$
+- definiční obor zobecněné funkce $\delta^*$
+	- $D(\delta^*) = Q \times \sum^* = Q \times \left( \{e\} \cup \sum \cup \sum^2 \cup \dots \right)$
+	- $D(\delta) \subseteq D(\delta^*), \quad \delta^*(q, a) = \delta(q, a) \, \forall q \in Q, \forall a \in \sum$
+- zobecněná přechodová funkce je jednoznačně určena přechodovou funkcí
+	- lze ji vyjádřit rekurzivně pomocí přechodové funkce
+	- $\delta^*(q, wa) = \delta(\delta^*(q, w)a), \delta^*(q, e) = q$

KIV TI/02. Jazyky a gramatiky.md

@@ -0,0 +1,360 @@
+# Jazyky
+
+Množinový přístup k pojmu jazyk nad abecedou; abeceda, uzávěr abecedy, iterace abecedy
+- **abeceda**
+	- značení: $\sum = \{a, b, c\}$
+	- konečná neprázdná množina symbolů
+	- prvky abecedy: písmena
+- **řetězec (slovo)**
+	- značení:  $ab, aacabaaab, e$
+		- $e, \lambda$ - prázdný řetězec
+	- libovolná konečná posloupnost písmen abecedy
+
++ **uzávěr abecedy** $\sum$
+	+ značení: $\sum^+$
+	- množina všech neprázdných řetězců vytvořených z písmen abecedy $\sum$
++ **iterace abecedy** $\sum$
+	+ značení: $\sum^*$
+	+ množina všech řetězců vytvořených z písmen abecedy $\sum$
++ zřejmé: $\sum^* = \sum^+ \cup \, \{e\}$
+- **jazyk $L$ nad abecedou $\sum$**
+	- libovolná množina řetězců nad abecedou $\sum$, tedy $L \subseteq \sum^*$
+	- jazyky chápeme jako množiny
+
+### Operace
+
+Operace nad řetězci, operace nad jazyky (zřetězení, mocnina, reverze, délka řetězce, sjednocení, průnik, doplněk, rozdíl, zřetězení jazyků)
+- **řetězce** $u$ a $v$
+	- zřetězení
+		- $\sum^* \times \sum^* \to \sum^*$
+		- $u \cdot v = a_{1}a_{2}\dots a_{n}b_{1}b_{2}\dots b_{n}$
+	- mocnina
+		- $\sum^* \times \, N_{0} \to \sum^*$
+		- $u^0 = e$
+		- $u^1 = u$
+		- $u^2 = u \cdot u$
+	- reverze (obrácení)
+		- $\sum^* \to N_{0}$
+		- $u^R = a_{n}a_{n-1}\dots a_{1}$
+	- délka
+		- $|u| = n$
+		- $|e| = 0$
+- **jazyky**
+	- sjednocení
+		- $L = L_{1} \cup L_{2}$
+	- průnik
+		- $L = L_{1} \cap L_{2}$
+	- doplněk
+		- $L = \overline{L_{1}}$
+	- rozdíl
+		- $L = L_{1} / L_{2}$
+	- zřetězení
+		- $L = L_{1} \cdot L_{2} = L_{1}L_{2}$
+		- $A = \{a, b, c\}, B = \{0, 1\}$
+		- $AB = \{a0, a1, b0, b1, \dots\}$
+
+### Popis
+
+- množinový
+	- výčtem
+	- společnou vlastností řetězců
+- akceptační
+	- automatem, který jazyk rozpoznává
+		- každý rozpoznávací automat jednoznačně definuje jazyk jako **množinu všech řetězců**, které automat převedou z počátečního stavu do některého z koncových stavů
+		- nemusí být konečný (existují i jiné automaty)
+- generativní
+	- pravidly pro vytváření řetězců, tedy **gramatikou**
+		- popsání správných řetězců pomocí formálních pravidel
+		- pomocí pravidel možné generovat řetězce patřící do jazyka
+	- **přepisovací pravidla**
+		- postupně nahrazujeme pomocné symboly
+		- odvozování končí, pokud nezbývají žádné pomocné symboly
+
+Jazyk akceptovaný deterministickým konečným rozpoznávacím automatem - definice
+- automat $A\left( Q, \sum, \delta, q_{0}, F \right)$ akceptuje jazyk $L(A) = \left\{  w; w \in \sum^* \wedge \, \delta^*(q_{0}, w) \in F \right\}$
+	- TODO
+
+# Gramatika
+
+Definice formální gramatiky:
+
+Uspořádaná čtveřice $G = (N, T, S, P)$
+- $N$ - množina neterminálních symbolů
+- $T$ - množina terminálních symbolů
+	- $N \cap T = \emptyset$
+- $S \in N$ - počáteční symbol
+- $P$ - množina přepisovacích pravidel ve tvaru $\alpha \to \beta$
+	- $\alpha \in (N \cup T)^* N (N \cup T)$
+		- na levé straně alespoň jeden neterminální symbol
+	- $\beta \in (N \cup T)^*$
+		- na pravé straně může být i prázdný řetězec
+
+Běžné konvence
+- neterminální symboly: <podmět>, <identifikátor>, ... nebo S, A, B, C
+- terminální symboly: 0, 1, 2, ... nebo a, b, c, d, f, ...
+- řetězce: $\alpha, \beta, \gamma, \delta,$ ... nebo u, v, w, x, y, z
+
+## Chomského klasifikace gramatik
+
++ gramatiky klasifikovány do 4 tříd
+	- třídy: 0, 1, 2, 3
+- určující pro zařazení gramatiky je nejvyšší třída, jejímž pravidlům gramatika vyhovuje
+- všechny gramatiky vyhovují pravidlům pro gramatiky třídy 0
+- každá další (tj. vyšší) třída zpřísní formální požadavky na tvar přepisovacích pravidel
+- nejužší třída 3 obsahuje gramatiky generující jazyky rozpoznatelné KA
+
+### Generace řetězců gramatikou
+
+Generování řetězců gramatikou, přímé přepsání, přepsání, jazyk generovaný gramatikou
+- gramatika $G$ generuje jazyk $L(G)$ jako množinu všech terminálních řetězců, které lze v gramtice odvodit z počátečního symbolu
+- mějme řetězce
+	- $w \in (N \cup T)^* N (N \cup T)^*$
+	- $z \in (N \cup T)^*$
+- **přímé přepsání**
+	- řetězec $w$ lze přímo přepsat na $z$ právě tehdy, když existují řetězce $x_{1}, x_{2}, u, v \in (N \cup T)^*$ takové, že zároveň platí
+		- $w = x_{1} \, u \, x_{2}$
+		- $z = x_{1} \, v \, x_{2}$
+		- $u \to v \in P$
+	- značení: $w \implies z$
+- **přepsání**
+	- řetězec $w$ lze přepsat na $z$ právě tehdy, když existují řetězce $w_{0}, w_{1}, \dots, w_{n} \in (N \cup T)^*$ takové, že
+		- $w = w_{0} \implies w_{1} \implies \dots \implies w_{n} = z$
+	- tato sekvence přepsání se nazývá odvozením (derivací) slova $z$ ze slova $w$
+		- délka odvození je $n$
+		- značení: $a \stackrel{*}{\implies} z$
+
+**Odvození řetězců**
+- vyjdeme z počátečního symbolu $S$
+- v dosud odvozeném řetězci najdeme levou stranu některého přepisovacího pravidla
+- řetězec přepíšeme tak, že tuto levou stranu nahradíme odpovídající pravou stranou, přičemž levý i pravý kontext zůstane zachován
+- takto postupujeme dokud nedojdeme k řetězci, který se skládá pouze z terminálních symbolů
+
+#### Jazyk generovaný gramatikou
+
+- množina všech terminálních řetězců, které lze v gramatice odvodit z počátečního symbolu
+	- $L(G) = \{w | w \in T^* \wedge S \stackrel{*}{\implies} w\}$
+
+### Typy gramatik
+
+**Gramatika typu 0** (G0)
+- pravidla ve tvaru $\alpha \to \beta$
+	- $\alpha \in (N \cup T)^* N (N \cup T)^*$
+		- na levé straně musí být alespoň jeden neterminální symbol
+	- $\beta \in (N \cup T)^*$
+		- na pravé straně může být i prázdný řetězec
+
+**Gramatika typu 1** (G1)
+- všechna pravidla jsou ve tvaru $\alpha X \beta ⟶ \alpha \gamma \beta$
+	- $\alpha, \beta \in (N \cup T)^*$
+	- $X \in N$
+	- $\gamma \in (N \cup T)^+$
+- **výjimka**: v gramatice může být pravidlo $S \to e$, pak se ale S nesmí vyskytnout na pravé straně přepisovacích pravidel
+- **názvy**: kontextová gramatika, context sensitive grammar (CSG), nevypouštěcí gramatika
+
+**Gramatika typu 2** (G2)
+- všechna pravidla jsou ve tvaru $X \to \gamma$
+	- $X \in N$
+	- $\gamma \in (N \cup T)^*$
+- **názvy**: bezkontextová gramatika, ontext free grammar
+(CFG)
+- nejpoužívanější gramatiky jsou G2
+- nejpropracovanější metody syntaktické analýzy
+
+Srovnání kontextových a bezkontextových gramatik
+- kontextová: $\quad \alpha X \beta \to \alpha \gamma \beta\quad$ (pravidlo 1)
+- bezkontextová: $\quad X \to \gamma\quad$ (pravidlo 2)
++ podle pravidla 1 může dojít k substituci $X$ za $\gamma$ pouze ve „správném kontextu“ (tj. „zleva $\alpha$, zprava
+$\beta$“ )
++ podle pravidla 2 může dojít k substituci $X$ za $\gamma$ kdykoli
+
+**Gramatika typu 3**
+- gramatiky typu 3 pravé (G3P)
+	- všechna pravidla jsou ve tvaru $X \to w$ nebo $X \to w Y$
+	- $X, Y \in N, w \in T^*$
+- gramatiky typu 3 levé (G3L)
+	- všechna pravidla jsou ve tvaru $X \to w$ nebo $X \to Y w$
+	- $X, Y \in N, w \in T^*$
+- **názvy**: pravá lineární gramatika, levá lineární gramatika
+
+Jak určit gramatiku?
+- gramatika je typu $i$, jsou-li všechna pravidla typu $i$ nebo vyššího $\implies$ o typu gramatiky rozhoduje „nejhorší pravidlo“ (pravidlo s nejnižším typem)
+- vyskytují-li se v gramatice současně pravidla typu G3P a G3L, nejedná se o gramatiku typu G3, ale (v nejlepším případě) o typ G2
+- pravidla, která se mohou vyskytnout v G3P i G3L, označujeme jako pravidla typu G3 (symetrická)
+- tvar pravidel u G1 je takový, že existují gramatiky typu G2 a G3, které mu nevyhovují (mohou obsahovat pravidla $X \to e$, kde $X \in N$; proto je v obrázku třída G1 vyznačena jen čárkovaně, zakreslení není zcela korektní
+
+#### Typy jazyků
+
+Typy jazyků, hierarchické uspořádání tříd jazyků, hierarchie modelů jejich syntaktických analyzátorů
+
+Jazyk $L$ je typu $i$ jestliže existuje gramatika $G$ typu $i$ taková, že $L = L(G)$.
+- typ jazyka je typ nejvyšší gramatiky, která generuje jazyk
+
+| třída | název                          | model syntaktického analyzátoru       |
+| ----- | ------------------------------ | ------------------------------------- |
+| **0** | rekurzivně vyčíslitelné jazyky | Turingův stroj                        |
+| **1** | kontextové jazyky              | lineárně omezený Turingův stroj       |
+| **2** | bezkontextové jazyky           | nedeterministický zásobníkový automat |
+| **3**      | regulární jazyky                               | konečný automat                                      |
+
+Největší praktické použití mají bezkontextové jazyky. Současné programovací a specifikační jazyky jsou vesměs třídy 2.
+
+#### Cesta od gramatiky typu G3P ke konečnému automatu (obecný popis)
+
+- ke každé gramatice typu G3P existuje ekvivalentní gramatika s pravidly ve tvaru $X \to aY$ nebo $X \to e$, kde $X, Y \in N$ a $a \in T$
+- pojem KA zobecníme na nedeterministický konečný automat, který bude připouštět nejednoznačné přechody
+- ke každému nedeterministickému konečnému automatu existuje konečný automat ve smyslu dosavadní definice
+
+#### Převod gramatiky G3P na regulární tvar
+
+Tvrzení: Ke každé gramatice $G = (N, T, S ,P)$ typu G3P existuje gramatika $G' = (N', T', S', P')$ s pravidly v regulárním tvaru $X \to aY$ nebo $X \to e$, kde $X, Y \in N$ a $a \in T$, taková, že $L(G) = L(G')$.
+
+Postup pro konstrukci ekvivalentní gramatiky v regulárním tvaru:
+1. množina $T$ a počáteční symbol $S$ jsou v $G'$ stejné jako v $G$
+2. množinu přepisovacích pravidel $P'$ zkonstruujeme takto:
+	1. do $P'$ zařadíme všechna pravidla z $P$, která jsou v pořadovaném regulárním tvaru $X \to aY$ nebo $X \to e$, kde $X, Y \in N$ a $a \in T$
+	2. za pravidla $X \to x_{1}x_{2}\dots x_{n}Y$ z $P (X, Y \in N, x_{i} \in T)$ přidáme do $P'$ soustavu pravidel:
+		- $X \to x_{1}X_{1}$
+		- $X_{1} \to x_{2}X_{2}$
+		- ...
+		- $X_{n-2} \to x_{n-1}X_{n-1}$
+		- $X_{n-1} \to x_{n}X_{n}$
+	 3. za každé pravidlo $X \to z_{1}z_{2}\dots z_{n}$ z $P (X \in N, z_{i} \in T)$ přidáme do $P'$ soustavu pravidel:
+		 - $X \to z_{1}Z_{1}$
+		 - $Z_{1} \to z_{2}Z_{2}$
+		 - ...
+		 - $Z_{n-1} \to z_{n}Z_{n}$
+		 - $Z_{n} \to e$
+	4. místo pravidel tvaru $X \to Y$ z $P$ přidáme do $P'$ soustavu pravidel ve tvaru:
+		- $Z' \to zZ'' \space \forall \, Z' \in U(Y) \space \forall \, Y \to zZ''$
+		- kde $U(Y) = \{X | X \stackrel{*}{\implies} Y\}$
+3. množina neterminálních symbolů $N'$ vznikne obohacením množiny $N$ o všechny nové neterminální symboly vytvořené v bodech 2.2 a 2.3
+
+Poznámky k praktickému provedení transformace:
+- provedení bodů 2.2 a 2.3 je triviální (dochází k postupnému odřezávání terminálních symbolů)
+- k provedení bodu 2.4 je u složitějších gramatik vhodné nakreslit pomocný graf, který bude zobrazovat pravidla tvaru $X \to Y$ a z něj vyčíst všechny množiny U(X)
+- důležitým faktorem je udržet si přehled v tom, která pravidla jsem již zpracoval (nahradil ekvivalentními soustavami pravidel), je tedy vhodné si zpracovaná pravidla v zadání označovat (odškrtávat)
+
+# Nedeterministický rozpoznávací KA
+
+$A = \left( Q, \sum, \delta, S, F \right)$
+
+- $Q$ - konečná neprázdná množina stavů
+- $\sum$ - konečná neprázdná množina vstupních symbolů
+- $S \subseteq Q$ - množina počátečních stavů
+- $\delta : Q \times \left( \sum \cup \{e\} \right) \to 2^Q$ - přechodová funkce
+- $F \subseteq Q$ - množina koncových stavů
+
+poznámky:
+- na začátku se automat nachází v některém ze stavů množiny $S$
+- $e$-hrany může (ale nemusí) provádět automat samovolně
+- obor hodnot přechodové funkce $2^Q$ představuje množinu všech podmnožin stavové množiny $Q$
+	- pro konkrétní stav a vstupní písmeno může být hodnotou funkce více než jeden následující stav
+	- automat je vždy pouze v jednom stavu, přejde vždy do některého z možných
+
+### Typy nedeterminismu
+
+- **nejednoznačně určený počáteční stav** (může jich být více)
+- **nejednoznačné přechody** (více přechodů ze stavu se stejným znakem)
+- **možnost samovolného přechodu** ($e$-přechody)
+
+### Řetězec akceptovaný NKA
+
+- u deterministického KA je možné určit, do jakého stavu se zpracováním řetězce dostal, u NKA to možné není
+
+Řetězec $w$ je NKA akceptován právě tehdy, jestliže v přechodovém grafu existuje alespoň jedna cesta, jejíž hrany jsou ohodnoceny písmeny řetězce $w$ (nebo symboly $e$), která začíná v některém z počátečních stavů a končí v některém z koncových stavů.
+
+- prázdný řetězec $e$ je akceptován, pokud existuje průnik mezi $S$ a $F$ nebo když existuje cesta složená z $e$-hran z některého počátečního stavu do některého koncového
+- **různé možnosti zpracování** řetězce chápeme jako **různé výpočty**
+
+Závěr
+- ke každému NKA existuje ekvivalentní KA
+- KA a NKA rozpoznávají tutéž třídu jazyků
+
+### Převod NKA na ekvivalentní (D)KA
+
+Popis převodu (bez $e$-hran)
+- předem nelze určit počet stavů ekvivalentního KA
+- počáteční stav KA odpovídá množině počátečních stavů NKA
+- stavy KA vytváříme postupně tak, že vyhodnocujeme přechodovou funkci $\delta'$ pro již vypočítané stavy KA (začínáme od počátečního stavu)
+- hodnota přechodové funkce $\delta'$ pro konkrétní podmnožinu $K \subseteq Q$ a konkrétní vstupní písmeno $x$ se získá jako sjednocení hodnot funkce $\delta$ pro všechny prvky množiny $K$ a vstupní písmeno $x$
+- koncovými stavy KA (tedy množinou $F'$) budou všechny stavy, které v sobě obsahují některý z koncových stavů výchozího NKA (tedy množiny $F$)
+
+K sestrojení NKA k levé lineární gramatice je potřeba provést její reverzi, poté převod a následně reverzi automatu.
+
+#### Reverze gramatiky
+
+Reverzní gramatika $G^R$ ke gramatice $G$ je gramatika, které má na levé i pravé straně převrácené řetězce z gramatiky $G$.
+- příklad
+	- $G$
+		- $S \to aS$
+		- $aS \to bA | bba$
+		- $A \to abb$
+	- $G^R$
+		- $S \to Sa$
+		- $Sa \to Ab | abb$
+		- $A \to bba$
+
+#### Reverze rozpoznávacího NKA
+
+Reverzní automat $A^R$ k automatu $A$ je automat, v jehož přechodovém grafu jsou obráceny orientace všech šipek (obrací se orientace přechodových hran a zamění se počáteční a koncové stavy).
+
+### Ekvivalentní KA k NKA s $e$-hranami
+
+- nejprve je potřeba vytvořit ekvivalentní NKA bez $e$-hran
+- poté k němu vytvoříme ekvivalentní KA známým způsobem
+
+Ekvivalence odstranění $e$-hran
+- pro každý stav $X$ je potřeba vytvořit množinu $e$-následníků, tedy stavů, které jsou ze stavu $X$ dosažitelné cestami složenými z $e$-hran
+- každý stav je $e$-následníkem sebe samého
+
+Množiny $e$-následníků použijeme
+- k vytvoření přechodové tabulky ekvivalentního NKA bez $e$-hran tím, že stavy v množinách určující hodnoty funkce $\delta$ nahradíme všemi jejich $e$-následníky
+- k vytvoření počátečního stavu ekvivalentního KA tím, že každý počáteční stav v množině $S$ nahradíme všemi jeho $e$-následníky
+
+# Regulární výrazy
+
+**Regulární množiny**
+- regulární množina je regulární jazyk (množina řetězců, ke které existuje konečný automat, který ji rozpozná)
+
+Regulární množina nad abecedou $\sum$ je definována rekurzivně takto:
+1. $\emptyset$ je regulární množina
+2. $\{ e \}$ je regulární množina
+3. $\{ a \}$ je regulární množina $\forall \, a \in \sum$
+4. jsou-li $P$ a $Q$ regulární množiny, pak
+	1. $P \cup Q$ je regulární množina
+	2. $P \cdot Q$ je regulární množina
+	3. $P^*$ a $Q^*$ jsou regulární množiny
+5. neexistují žádné jiné regulární množiny
+
+**Regulární výrazy**
+1. $\emptyset$ je regulární výraz označující regulární množinu $\emptyset$
+2. $e$ je regulární výraz označující regulární množinu $\{ e \}$
+3. $a$ je regulární výraz označující regulární množinu $\{ a \} \quad \forall \, a \in \sum$
+4. jsou-li $p$ a $q$ regulární výrazy označující regulární množiny $P$ a $Q$, pak
+	1. $p + q$ je regulární výraz označující regulární množinu $P \cup Q$
+	2. $p \cdot q$ je regulární výraz označující regulární množinu $P \cdot Q$
+	3. $p^*$ a $q^*$ jsou regulární výrazy ozn. regulární množiny $P^*$ a $Q^*$
+5. neexistují žádné jiné regulární výrazy
+- vztah mezi regulární množinou a regulárním výrazem:
+	- regulární výraz R **označuje** regulární množinu A
+	- regulární množina A **je hodnotou** regulárního výrazu R
+	- značení $A = \Vert R\Vert$
+### Souvislost s konečnými automaty
+
+KA rozpoznávající regulární množiny
+- předpokládejme, že NKA má právě jeden počáteční a právě jeden koncový stav (pokud ne, doplníme $e$-hrany)
+
+Sestrojení NKA akceptující jazyk popsaný RV
+- provádí se postupným rozkladem reg. výrazu R a odpovídající transformací zobecněného přechodového grafu
+- zobecněný přechodový graf = přechodový graf, kde ohodnocením hrany může být také regulární výraz
+	- výchozí zobecněný přechodový graf
+		- počáteční stav $S$
+		- koncový stav $K$
+		- hrana z $S$ do $K$ ohodnocená regulárním výrazem $R$
+- transformace grafu přidává nové stavy a nové přechodové hrany, čímž se zjednodušují regulární výrazy
+- proces končí, pokud jsou všechny hrany ohodnoceny písmenem $\sum$ nebo symbolem $e$
+- výsledkem je přechodový graf NKA
+
+Sestrojení ekvivalentního RV z NKA
+- opačný postup
+