Úprava 5. příkladu z FYI

KFY FYI1/Priklad05.md

@@ -1,49 +1,52 @@
 ### Zadání
 
-Raketa o hmotnosti 100 kg nese pohonné látky o hmotnosti 1300 kg. Plyny tryskají z rakety (relativní) rychlostí 3 km/s. Určete: možné zvýšení rychlosti rakety v kosmickém prostoru.
+**Raketa o hmotnosti 100 kg** nese **pohonné látky** o hmotnosti **1300 kg**. **Plyny tryskají** z rakety (relativní) **rychlostí 3 km/s**. Určete: **možné zvýšení rychlosti rakety** v kosmickém prostoru.
 
 - $m_{R} = 100 \, \text{kg}$
 - $m_{P} = 1300 \, \text{kg}$
 - $u = 3 \, \text{km/s}$
 - $\Delta v = \, ?$
-- kosmický prostor $\to$ izolovaný systém $\to$ zákon zachování hybnosti
++ na systém nepůsobí vnější vlivy
++ kosmický prostor $\to$ izolovaný systém $\to$ zákon zachování hybnosti
 	- $\vec p = \text{konst.}$
 
 ![](_assets/priklad5.svg)
 
+hybnost systému ve dvou různých okamžicích musí být stejná
 - $p(t) = p(t + dt)$
 	- palivo $\mu$ se přemění na plyny, ty uniknou z rakety
 	- v čase $t$ platí
 		- $p(t) = m(t) \cdot v(t)$
 	- v čase $t + dt$ platí
-		- $p(t) = m(t+dt) \cdot v(t+dt) + \mu [u(t)-u]$
-+ $p(t) = p(t+dt)$
-+ $m(t) \cdot u(t) = m(t+dt) \cdot v(t+dt) + \mu[u(t)-u]$
-- platí:
-	- $m(t+dt) = m(d) + dm$
-	- $v(t+dt) = v(t) + dv$
-	- $\mu = -dm$
+		- $p(t) = m(t+dt) \cdot v(t+dt) + \mu [v(t)-u]$
+
+dostaneme tedy
++ $m(t) \cdot u(t) = m(t+dt) \cdot v(t+dt) + \mu[v(t)-u]$
+
+dále platí
+- $m(t+dt) = m(d) + dm$
+- $v(t+dt) = v(t) + dv$
+- $\mu = -dm$
+- dosazíme do přechozí rovnice
 
 ### Výpočet
 
-$m(t) \cdot v(t) = [m(t)+dm] \cdot [v(t)+dv] -dm[v(t)-\mu]$
-
-$\cancel{m(t) \cdot v(t)} = \cancel{m(t) \cdot v(t)} + m(t) \cdot dv + \cancel{dm \cdot v(t)} + dm \cdot dv - \cancel{dm \cdot v(t)} + u \cdot dm$
+upravíme vzorec
+- $m(t) \cdot v(t) = [m(t)+dm] \cdot [v(t)+dv] -dm[v(t)-u]$
+- $\cancel{m(t) \cdot v(t)} = \cancel{m(t) \cdot v(t)} + m(t) \cdot dv + \cancel{dm \cdot v(t)} + dm \cdot dv - \cancel{dm \cdot v(t)} + u \cdot dm$
 - $dm \cdot dv$ zanedbáme, velmi malé číslo
 
-$0 = m(t) \cdot dv + u \cdot dm$
+upravíme získanou rovnici
+- $0 = m(t) \cdot dv + u \cdot dm$
+- $udm = m(t) \cdot dv$
+- $\displaystyle \frac{dm}{m(t)} = -\frac{dv}{u}$
 
-$udm = m(t) \cdot dv$
-
-$\displaystyle \frac{dm}{m(t)} = -\frac{dv}{u}$
-
-$\displaystyle \int^{m_{R}}_{m_{R}+m_{P}} \frac{dm}{m(t)} = -\frac{1}{u} \int^{v}_{v_{0}} dv$
-
-$[\ln(m)]^{m_{R}}_{m_{R}+m_{P}} = -\frac{1}{u}[v]^{v}_{v_{0}}$
-
-$\ln(m_{R}) - \ln(m_{R}+m_{P}) = -\frac{1}{u}(v-v_{0}) \quad v-v_{0}=\Delta v$
-
-$u \cdot \ln\left[ \frac{m_{R}+m_{P}}{m_{R}} \right] = \Delta v$
+provedeme integraci
++ $\displaystyle \int^{m_{R}}_{m_{R}+m_{P}} \frac{dm}{m(t)} = -\frac{1}{u} \int^{v}_{v_{0}} dv$
+- $[\ln(m)]^{m_{R}}_{m_{R}+m_{P}} = -\frac{1}{u}[v]^{v}_{v_{0}}$
++ $\ln(m_{R}) - \ln(m_{R}+m_{P}) = -\frac{1}{u}(v-v_{0})$
+	- $v-v_{0}=\Delta v$
+- $u \cdot \ln\left[ \frac{m_{R}+m_{P}}{m_{R}} \right] = \Delta v$
 
 Ciolkovského rovnice
 - $\Delta v = u \cdot \ln\left[ 1 + \frac{m_{P}}{m_{R}} \right]$