Doplnění diagonalizace k vlastním číslům v LAA

KMA LAA/8. Vlastní čísla a vlastní vektory.md

@@ -1,8 +1,8 @@
 # Vlastní čísla
 
 - $A \cdot \vec{u} = \lambda \cdot \vec{u}$
-    - $\vec{u} \in U \smallsetminus \{o\}$
-- $(\lambda I-A) \cdot \vec{u} = o$
+    - $\vec{u} \in U \smallsetminus \{\vec{o}\}$ (u nulového vektoru by to platilo vždy)
+- $(\lambda I-A) \cdot \vec{u} = \vec{o}$
 
 ## Vlastní čísla
 
@@ -29,15 +29,24 @@ Pokud nám chybí některé $h_{i}$ (máme vícenásobné vl. číslo ale $n-hod
 
 Vlastním vektorem $h_{1} = [2, -1, 1]$ se myslí $t\cdot [2, -1, 1], t\in R$
 
-### Regulární matice T
+### Podobnost matic
 
-Matice A a B jsou podobné, jestli existuje matice $T$ taková, aby platilo $A = T^{-1}BT$.
-- pokud je A podobná B, je zároveň B podobná A
-- platí tedy $TA = BT$ i $TAT^{-1} = B$
+Matice $A$ a $B$ jsou podobné, jestli existuje matice $T$ taková, aby platilo $A = T^{-1}BT$.
+- pokud je A podobná B, je zároveň B podobná A, platí tedy i:
+	- $TA = BT$
+	- $TAT^{-1} = B$
+- každá matice je podobná sama sobě ($T$ by byla jednotková matice $I$)
 
 Pokud jsou matice A a B podobné, mají stejné charakteristické polynomy i spektra.
 
-#### Jordanův kanonický tvar
+#### Diagonalizace
+
+Matice NxN je diagonalizovatelná právě když
+- má N lineárně nezávislých vlastních vektorů
+- má různá vlastní čísla
+- je symetrická nebo jednotková
+
+### Jordanův kanonický tvar
 
 1. Na diagonálu dáme jednotlivá vlastní čísla
 2. Pokud jsme dopočítávali vlastní vektor pro některé vlastní číslo, je potřeba dát 1 nad diagonálu u Jordanova bloku