Přidání poznámek k maticím v LAA

KMA LAA/2. Matice.md

@@ -4,8 +4,8 @@ Maticí **typu m/n** nazveme soubor (tabulku) m x n prvků (čísel) $a_{ij}$ za
 
 | značení    | význam                     |
 | ---------- | -------------------------- |
-| ($i$, $j$) | pozice v matici            |
-| $a_{ij}$   | prvek na pozici ($i$, $j$) |
+| $(i, j)$ | pozice v matici            |
+| $a_{ij}$   | prvek na pozici $(i, j)$ |
 | $i$        | řádkový index              |
 | $a_{kk}$   | diagonální prvek matice    |
 | $m/n$        | typ matice: $m$ řádků, $n$ sloupců                           |

KMA LAA/5. Hodnost matice.md

@@ -1,25 +1,77 @@
 # Hodnost matice
 
 - počet nenulových řádků matice
-- počet lineárně nezávislých vektorů prostoru generujícího řádky (dimenzi tohoto prostoru) a zároveň počtu lineárně nezávislých vektorů generující prostor sloupcový (dimenze tohoto prostoru)
 
-#### Dělení matic
-- **Regulární matice**
-	- její hodnost se rovná jejímu řádu - $hod(A) = n$
-	- její determinant je nenulový - $\det{A} \neq 0$
-	- každou regulární matici lze řádkovými elementárními úpravami převést na jednotkovou matici
-	- existuje k ní inverzní matice - $\mbox{existuje } A^{-1}$
-- **Singulární matice**
-	- její hodnost se je menší než její řádu - $hod(A) < n$
-	- její determinant je 0 - $\det{A} = 0$
-	- neexistuje k ní inverzní matice - $\mbox{neexistuje } A^{-1}$
+### Řádkový a sloupcový prostor matice
+
+U matice A typu $m/n$ je
+- lineární obal všech **řádkových vektorů** (řádků) nazýván **řádkovým prostorem** matice A;
+- lineární obal všech **sloupcových vektorů** (sloupců) nazýván **sloupcovým prostorem** matice A.
+
+Dimenzi řádkového nebo sloupcového prostoru nazveme **řádkovou (sloupcovou) hodností** matice A a značíme ji $hod^r(A)$ resp. $hod^s(A)$.
+
+$$A = \begin{bmatrix}
+1 & 2 & 5 \\
+-2 & 3 & -4 \\
+-1 & 5 & 1
+\end{bmatrix} \space \begin{matrix}
+\leftarrow r_{1} \\
+\leftarrow r_{2} \\
+\leftarrow r_{3}
+\end{matrix}$$
+
+$$M = \biggl\{ \begin{bmatrix}
+1 \\
+2 \\
+5
+\end{bmatrix}; \begin{bmatrix}
+-2 \\
+3 \\
+-4
+\end{bmatrix}; \begin{bmatrix}
+-1 \\
+5 \\
+1
+\end{bmatrix} \biggl\}$$
+
+- M generuje řádkový lineárně vektorový prostor matice A.
+- M je LZ, neboť $r_3^T = r_1^T + r_2^T$, tedy $dim(M) < 3$.
+- Ale $\{r_1^T, r_2^T\}$ je LN a tedy báze, proto $hod^R(A) = 2$.
+
+Pro každou matici A platí, že
+- **řádková hodnost** je rovna té **sloupcové**, takže $hod^r(A) = hod^s(A)$;
+- **hodnost transponované** matice je rovna hodnosti původní matice, takže $hod(A) = hod(A^T)$.
+
+**Hodností matice** A nazveme hodnotu $hod^r(A)$.
+
+### Regulární matice
+
+| vlastnost                                 | výraz                     |
+| ----------------------------------------- | ------------------------- |
+| její **hodnost** se rovná jejímu **řádu** | $hod(A) = n$              |
+| má **nenulový determinant**               | $\det{A} \neq 0$          |
+| **existuje** k ní **inverzní matice**     | $\text{existuje } A^{-1}$ |
+
+Každou **regulární matici** lze řádkovými elementárními úpravami převést **na jednotkovou matici**.
+
+### Singulární matice
+
+| vlastnost                                  | výraz                       |
+| ------------------------------------------ | --------------------------- |
+| její **hodnost** je **menší než její řád** | $hod(A) < n$                |
+| má **nulový determinant**                  | $\det{A} = 0$               |
+| **neexistuje** k ní **inverzní matice**    | $\text{neexistuje } A^{-1}$ |
 
 ### Určení hodnosti pomocí determinantu
-- determinant trojúhelníkové matice je roven součinu prvků na hlavní diagonále
 
-- determinant libovolné čtvercové podmatice řádu m se nazývá **minořem řádu** m matice A
-- nechť A je matice => hod(A) = m právě tehdy, když v A existuje nenulový minor řádu m a zároveň každý minor řádu většího než m je nulový
+Determinant **trojúhelníkové matice** je roven **součinu prvků na hlavní diagonále**.
 
-- nechť A je čtvercová řádu n => **hod(A) = n**, **pokud det(A) se nerová 0**
-	- DK: podle předchozí věty je hod(A) = n <=> v A existuje nenulový minor řádu n
-	- víme, že jedinému minoru řádu n odpovídá celá matice A => **hod(A) = n** <=> **det(A) se nerovná 0**
+Determinant libovolné **čtvercové podmatice** řádu $m$ se nazývá **minořem řádu** $m$ matice A.
+
+Nechť A je matice. Potom je $hod(A) = m$ právě tehdy,
+- když v A existuje **nenulový minor řádu** $m$
+- a zároveň každý **minor řádu většího než** $m$ **je nulový**.
+
+Nechť A je čtvercová řádu $n$. Potom $hod(A) = n$, **pokud se $\det(A)$ nerová 0**
+- **DK**: Podle předchozí věty je $hod(A) = n \iff$ v A existuje nenulový minor řádu $n$.
+- Víme, že jedinému minoru řádu $n$ odpovídá celá matice A, tedy $hod(A) = n \iff \det(A)$ **se nerovná 0**.