Doplnění poznámek k posloupnostem v M1

KMA M1/2. Posloupnosti.md

@@ -61,8 +61,8 @@ Pozn.: $a - \epsilon < a_{n} < a + \epsilon$
 ### Nevlastní limita
 
 Posloupnost $(a_n)$ má nevlastní limitu $+\infty$, pokud
-$$\displaystyle \forall h > 0 \quad \exists n_{0} \quad \forall n \in N : n > n_{0} \implies a_{n} > h$$
-$$\displaystyle \forall d < 0 \quad \exists n_{0} \quad \forall n \in N : n > n_{0} \implies a_{n} < d$$
+$$\displaystyle \forall \, h > 0 \quad \exists \, n_{0} \quad \forall \, n \in N : n > n_{0} \implies a_{n} > h$$
+$$\displaystyle \forall \, d < 0 \quad \exists \, n_{0} \quad \forall \, n \in N : n > n_{0} \implies a_{n} < d$$
 
 Píšeme
 - $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = +\infty$ nebo $a_{n} \to +\infty$
@@ -81,9 +81,17 @@ Nechť $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = a$ a $\displaystyle \lim_{ n
 
 3) $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } (\frac{a_{n}}{b_{n}}) = \frac{a}{b}$,  pokud $b_{n} \neq 0$ pro všechna $n \in N$ a pokud je pravá strana definována.
 
-### Eulerovo číslo
+### Věta o sevření
 
-- je definováno jako $\displaystyle e := \lim_{ n \to \infty } \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n$ = |"NV $1^\infty$"|
+Mějme dány posloupnosti $(a_{n}), (b_{n}), (c_{n})$ a předpokládejme, že platí
+1) $\exists \, n_{o} \in \mathbb{N} \quad \forall \, n \in \mathbb{N} : n > n_{0} \implies a_{n} \leq b_{n} \leq v_{n}$,
+2) $\displaystyle\lim_{ n \to \infty }{a_{n}} = \lim_{ n \to \infty }{c_{n}} = a \in \mathbb{R}^*$.
+
+Potom *sevřená* posloupnost $(b_{n})$ má také limitu a platí $\displaystyle\lim_{ n \to \infty }{b_{n}} = a$.
+
+## Eulerovo číslo
+
+Eulerovo číslo $e$ je definováno jako $\displaystyle e = \lim_{ n \to \infty } \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = \vert\text{"NV }1^\infty\text{"}\vert$.
 - alternativní definice: $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}$
 
 ## Konvergence a divergence
@@ -99,15 +107,29 @@ Nechť $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = a$ a $\displaystyle \lim_{ n
 
 ### Omezenost a limity
 
-1) Je-li posloupnost konvergentní (**K**), pak je i omezená (**O**)
+1) Je-li posloupnost konvergentní (**K**), pak je i omezená (**O**).
 
-2) Diverguje-li posloupnost k $+\infty$, pak je omezená pouze zdola (**OZ**)
+2) Diverguje-li posloupnost k $+\infty$, pak je omezená pouze zdola (**OZ**).
 
-3) Diverguje-li posloupnost k $-\infty$, pak je omezená pouze shora (**OS**)
+3) Diverguje-li posloupnost k $-\infty$, pak je omezená pouze shora (**OS**).
 
 Dále také
-1) Je-li $(a_n)$ monotónní (**M**) a omezená (**O**), pak je i konvergentní (**K**)
+1) Je-li $(a_n)$ monotónní (**M**) a omezená (**O**), pak je i konvergentní (**K**).
 
-2) Je-li $(a_n)$ rostoucí (**R**) a omezená (**O**), pak $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = sup \ a_{n}$ a $min \ a_{n} = a_{1}$
+2) Je-li $(a_n)$ rostoucí (**R**) a omezená (**O**), pak $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = sup \, a_{n}$ a $min \, a_{n} = a_{1}$.
 
-3) Je-li $(a_n)$ klesající (**K**) a omezená (**O**), pak $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = inf \ a_{n}$ a $max \ a_{n} = a_{1}$
+3) Je-li $(a_n)$ klesající (**K**) a omezená (**O**), pak $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = inf \, a_{n}$ a $max \, a_{n} = a_{1}$.
+
+### Sčítání, násobení a dělení na množině $\mathbb{R}^*$
+
+1) $\forall \, x \in \mathbb{R}^* \setminus \set{ +\infty } : \quad -\infty + x = x + (-\infty) = -\infty$,
+2) $\forall \, x \in \mathbb{R}^* \setminus \set{ -\infty } : \quad +\infty + x = x + (+\infty) = +\infty$,
+3) $\forall \, x \in \mathbb{R}^*, x > 0 : \quad x \cdot (\pm \infty) = \pm \infty$,
+4) $\forall \, x \in \mathbb{R}^*, x < 0 : \quad x \cdot (\pm \infty) = \mp \infty$,
+5) $\displaystyle\forall \, x \in \mathbb{R} : \quad \frac{x}{\pm \infty} = 0$.
+
+**Poznámka**: Operace sčítání, násobení a dělení nejsou definovány pro všechny dvojice z $\mathbb{R}^*$:
+1) $(+\infty) - (+\infty), (-\infty) - (-\infty), (+\infty) + (-\infty), (-\infty) + (+\infty)$,
+2) $0 \cdot (+\infty), (+\infty) \cdot 0, 0 \cdot (-\infty), (-\infty) \cdot 0,$
+3) $\displaystyle\frac{+\infty}{+\infty}, \frac{-\infty}{-\infty}, \frac{-\infty}{+\infty}, \frac{+\infty}{-\infty}$,
+4) $\displaystyle\frac{x}{0}, x \in \mathbb{R}^*$.