Doplnění LVP v LAA

KMA LAA/3. Lineární vektorové prostory.md

@@ -25,17 +25,46 @@ Vektorový prostor V nad tělesem K:
 | D   | $\forall \vec{u} \in V, \forall a, b \in K$       | $(a + b) \times \vec{u} = a\vec{u} + b\vec{u}$                  |
 | D   | $\forall \vec{u}, \vec{v} \in V, \forall a \in K$ | $a \times (\vec{u} + \vec{v}) = a\vec{u} + a\vec{v}$            |
 
-Mějme vektorový prostor V nad tělesem K. Množina $U \subseteq V$ je podprostorem V, pokud platí:
-1) $\forall \vec{u}, \vec{v} \in U : \vec{u} + \vec{v} \in U$
-2) $\forall \vec{u} \in U, \forall a \in K : a \times \vec{u} \in U$
-	- vyplývá, že v $U$ bude nulový vektor
+### Podprostor
+
+Máme lineární vektorový prostor $V$ a jeho podprostor $U \subset V$, jestliže
+1) pro každé $\vec{u}, \vec{v} \in U$ je $\vec{u} + \vec{v} \in U$
+2) pro každé $\vec{u} \in U$ a pro každé $a \in K$ je $a \cdot \vec{u} \in U$
+	- vyplývá, že v podprostoru $U$ bude vždy i nulový vektor ($a = 0$)
 
 Každý podprostor vektorového prostoru je také vektorovým prostorem.
 
+### Generující množina
+
+Množina $M = \{\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}, \dots, \vec{v_{k}}\} \subseteq V$ generuje lineární vektorový prostor, jestliže se lineární kombinace všech prvků M rovná prostoru V, tedy $\langle M \rangle = V$. 
+
+### Báze
+
+Je-li generující množina prostoru V lineárně nezávislá, jedná se také o bázi prostoru V.
+- zápis: $\text{báze }A = \{\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}\}$
+
+Bázi z generující množiny zjistím tím, že vektory GM zapíšu do sloupců matice a provedu GJEM -> tím zjistím, jestli se nedá některý z vektorů vyjádřit jako LK jiného vektoru (tedy vyjde jako parametr).
+
+#### Dimenze V
+
+Počet prvků báze V se nazývá **dimenze V** a značí se $dim(V)$.
+
+#### Souřadnice v bázi
+
+Jednoznačně určené koeficienty $c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n} \in \mathbb{R}$ LK $v = c_{1}\vec{b_{1}}, c_{2}\vec{b_{2}}, \dots, c_{n}\vec{b_{n}}$ se nazývají **souřadnice prvku v** v bází B.
+- značí se $\widehat{v_{B}} = [c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n}]^T$
+
+Pořadí prvků v bázi je důležité! Při změně pořadí se změní i pořadí souřadnic: $$B_{1} = \{ \vec{b_{1}}, \vec{b_{2}}, \vec{b_{3}} \} \qquad \vec{x}_{B_{1}} = [1, 2, 3]$$ $$B_{2} = \{ \vec{b_{2}}, \vec{b_{1}}, \vec{b_{3}} \} \qquad \vec{x}_{B_{2}} = [2, 1, 3]$$
+Souřadnice součtu dvou prvků V jsou součtem souřadnic těchto prvků. 
+
+$$\widehat{(\vec{v_{1}} + \vec{v_{2}})}_{B} = \widehat{\vec{v_{1}}_{B}} + \widehat{\vec{v_{2}}_{B}}$$
+$$\widehat{(\lambda \cdot\vec{v_{2}})}_{B} = \lambda \cdot \widehat{\vec{v_{2}}_{B}}$$
+
+
 ### Lineární obal
 
 - všechny lineární kombinace zadaných vektorů
-- $<\vec{u}; \vec{v}>$
+- $\langle\vec{u}; \vec{v}\rangle = \{ \lambda_{1} \cdot \vec{u} + \lambda_{2} \cdot \vec{v} \}$
 
 ### Operace s podprostory