Úprava 9. a 10. příkladu z FYI

KFY FYI1/Priklad09.md

@@ -6,8 +6,8 @@
 - $l$ - délka závěsu
 - $T_{k} = \, ?$ (doba kyvu kyvadla)
 - chyba pro $R \to 0 = \, ?$
-- netlumené kmity (tření)
-- tíhové pole Země
++ netlumené kmity (tření)
++ tíhové pole Země
 
 ![](_assets/priklad9.svg)
 
@@ -35,7 +35,7 @@ pro úhly $\varphi < 5^\circ \implies \sin \varphi \sim \varphi$
 - využijeme vzoreček pro úhlovou rychlost $\omega^2$ uvedený výše
 - $\displaystyle T_{k} = \frac{\pi}{\omega}$
 
-$\displaystyle T_{k} = \frac{\pi}{\sqrt{ \frac{l \cdot g}{\frac{2}{5}R^2+l^2} }} = \pi \cdot \frac{\sqrt{ l \cdot \left[ \frac{2}{5}\left( \frac{R}{l} \right)^2+1 \right] }}{\sqrt{ l \cdot g }} = \pi \cdot \sqrt{ \frac{l}{g} } \cdot \sqrt{ \frac{2}{5} \left( \frac{R}{l}^2 + 1 \right) }$
+$\displaystyle T_{k} = \frac{\pi}{\sqrt{ \frac{l \cdot g}{\frac{2}{5}R^2+l^2} }} = \pi \cdot \frac{\sqrt{ \frac{2}{5} R^2 + l^2 }}{\sqrt{ l \cdot g }} = \pi \cdot \frac{\sqrt{ l \cdot \left[ \frac{2}{5}\left( \frac{R}{l} \right)^2+1 \right] }}{\sqrt{ g }} = \pi \cdot \sqrt{ \frac{l}{g} } \cdot \sqrt{ \frac{2}{5} \left( \frac{R}{l} \right)^2 + 1 }$
 
 ### Výsledek
 

KFY FYI1/Priklad10.md

@@ -2,42 +2,51 @@
 
 Spočtěte **délku matematického sekundového kyvadla**, víte-li, že jeho **výchylka klesne**, nejsou-li hrazeny energetické ztráty, **za 5 minut na 1/10**. Jakému logaritmickému dekrementu to odpovídá? (Uvažujeme malé kmity)
 
-- $T^M_{kyv} = 1 \, \text{s}$
+- $T^M_{k} = 1 \, \text{s}$
 - $t = 5 \, \text{min}$
-- $A(t) = \frac{A_{0}}{10} \to \frac{A_{0}}{A(t)} = 10$
-- $\delta = \text{?}$ ... logaritmický dekrement
+- $\displaystyle A(t) = \frac{A_{0}}{10} \to \frac{A_{0}}{A(t)} = 10$
+- délka kyvadla $l = \, ?$
+- logaritmický dekrement $\delta = \text{?}$
 - obr. z příkladu 9
 
 ![](_assets/priklad9.svg)
 
+pro kruhovou frekvenci tlumených kmitů platí
 - $\omega^2_{1} = \omega^2 - b^2$
 	- $\omega^2_{1}$ - úhlová frekvence tlumených kyvů
-	- $\omega^2 = \frac{g}{l}$ - úhlová frekvence netlumených kyvů
+	- $\omega^2$ - úhlová frekvence netlumených kyvů
 	- $b^2$ - koeficient/faktor útlumu
-- $w^2_{1} = \frac{\pi}{T^{kyv}_{1}} = \pi$
-	- $T^{kyv}_{1} = 1 \, \text{s}$
+
+kruhová frekvence bezztrátového kyvadla (bez tlumení)
+- $\displaystyle\omega^2 = \frac{g}{l}$
+
+máme sekundové kyvadlo $\implies T_{1} = 2 \, \text{s}$ (kmit)
+- $\displaystyle \omega_{1} = \frac{2\pi}{T_{1}} = \frac{2\pi}{2} = \pi$
+	- pro kyv $\implies T = 1 \, \text{s}$
+
+tlumící konstantu určíme z poklesu amplitud
+- $\displaystyle\frac{A_{0}}{A(t)} = \frac{1}{e^{-bt}} = e^{bt}$
+- $\displaystyle\implies \ln\left( \frac{A_{0}}{A(t)} \right) = bt$
+- $\displaystyle\implies b = \frac{1}{t}\cdot \ln\left( \frac{A_{0}}{A(t)} \right)$
+- pro $A(t) = \frac{1}{10}A_{0} \implies \frac{A_{0}}{A(t)} = 10$
 
 ![](_assets/priklad10.svg)
 
 ### Výpočet
 
-$A(t) = A_{0} \cdot e^{-bt} \implies \frac{A(t)}{A_{0}} = e^{-bt}$
+dosadíme do vzorce
++ $\omega_{1}^2 = \omega^2 - b^2$
+- $\displaystyle\pi^2 = \frac{g}{l} - \frac{1}{t^2} \cdot \ln^2\left( \frac{A_{0}}{A(t)} \right)$
+- $\displaystyle \implies l = \frac{g}{\pi^2 + \frac{1}{t^2} \cdot \ln^2\left( \frac{A_{0}}{A(t)} \right)}$
 
-$\ln\left( \frac{A(t)}{A_{0}} \right) = -bt$
-
-$b = -\frac{1}{t} \cdot \ln\left( \frac{A(t)}{A_{0}} \right)$
-
-$b = \frac{1}{t} \cdot \ln\left( \frac{A_{0}}{A(t)} \right)$
-
-$\varphi(t) = A_{0} \cdot e^{-bt} \cdot \sin (\omega_{1}\cdot t)$
-- $A_{0} \cdot e^{-bt} = A(t)$
-
-$\displaystyle \pi^2 = \frac{g}{l} - \frac{1}{t^2} \cdot \ln^2\left( \frac{A_{0}}{A(t)} \right)$
-
-$\displaystyle \pi^2 + \frac{1}{t^2} \cdot \ln^2\left( \frac{A_{0}}{A(t)} \right) = \frac{g}{l}$
-
-$\displaystyle l = \frac{g}{\pi^2 + \frac{1}{t^2} \cdot \ln^2\left( \frac{A_{0}}{A(t)} \right)}$
+logaritmický dekrement $\delta$
+- logaritmus podílu dvou, o periodu posunutých, amplitud
+- $\displaystyle\delta = \ln\left[ \frac{A(t)}{A(t+T_{1})} \right] = \ln\left[ \frac{A_{0}\cdot e^{-bt}\cdot \sin(\omega_{1}t)}{A_{0}\cdot e^{-b(t+T_{1})}\cdot \sin[\omega_{1}\cdot(t+T_{1})]} \right] =$
+- $\displaystyle= \ln\left[ \frac{\cancel{A_{0}}\cdot \cancel{e^{-bt}}\cdot \cancel{\sin(\omega_{1}t)}}{\cancel{A_{0}}\cdot \cancel{e^{-bt}}e^{-bT_{1}}\cdot \cancel{\sin[\omega_{1}\cdot(t+T_{1})]}} \right] = \ln[e^{bT_{1}}] = b\cdot T_{1}$
+- $\displaystyle\delta = \frac{1}{t}\cdot \ln\left( \frac{A_{0}}{A(t)} \right) \cdot T_{1}$
 
 ### Výsledek
 
-$\displaystyle l = \frac{9.81}{\pi^2 + \frac{1}{(5 \cdot 60)^2} \cdot \ln^2(10)} \, \text{m} = 0.994 \, \text{m}$
+$\displaystyle l = \frac{9.81}{\pi^2+\frac{1}{5\cdot 60}\cdot \ln^2(10)} = 0.994 \, \text{m}$
+
+$\displaystyle\delta = \frac{1}{5\cdot 60}\cdot \ln\left( 10 \right) \cdot 2 = 0.015$