Úprava poznámek k posloupnostem v M1

KMA M1/2. Posloupnosti.md

@@ -1,6 +1,11 @@
 # Posloupnosti
 
-## Zadání
+**Posloupnost reálných čísel** je zobrazení s definičním oborem $\mathbb{N}$ a oborem hodnot $H \subset \mathbb{R}$, tj. každému indexu $n \in \mathbb{N}$ je přířazen právě jeden člen $a_{n} \in \mathbb{R}$.
+
+Možné zápisy pro posloupnost:
+- $\displaystyle (a_{n}), \quad (a_{n})_{n=1}^{+\infty}, \quad (a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots), \quad (a_{n})_{n\in \mathbb{N}}$.
+
+### Zadání
 
 | typ                     | příklad                                                       |
 | ----------------------- | ------------------------------------------------------------- |
@@ -8,21 +13,21 @@
 | implicitní (rekurentní) | $\begin{cases} a_{n+1} = a_n + 2 \newline a_1 = 2\end{cases}$ |
 | graf posloupnosti       | $(n, a_{n})$                                                  |
 
-## Omezenost
+### Omezenost
 
 Posloupnost $(a_n)$ s oborem hodnot $H$ je omezená (zdola, shora), je-li množina $H$ omezená (zdola, shora).
 
-| značení | typ                     | příklad   |
-| ------- | ----------------------- | --------- |
-| **O**       | omezená (shora i zdola) | $(-1)^n$  |
-| **OS**      | omezená shora           | $4-n$     |
-| **OZ**      | omezená zdola           | $(n-8)^2$ | 
+| značení | typ                     | podmínka                                                                        | příklad   |
+| ------- | ----------------------- | ------------------------------------------------------------------------------- | --------- |
+| **OZ**  | omezená zdola           | $\exists \, d \in \mathbb{R} \quad \forall \, n \in \mathbb{N} : d \leq a_{n}$  | $(n-8)^2$ |
+| **OS**  | omezená shora           | $\exists \, h \in \mathbb{R} \quad \forall \, n \in \mathbb{N} : a_{n} \leq h$  | $4-n$     |
+| **O**   | omezená (shora i zdola) | $\exists \, c > 0 \quad \forall \, n \in \mathbb{N} : \vert a_{n} \vert \leq c$ | $(-1)^n$  |
 
 ### Minimum, maximum, infimum a supremum
 
 Minimem (max, inf, sup) posloupnosti $(a_n)$ s oborem hodnot $H$ je minimem (max, inf, sup) množiny $H$.
 
-## Monotonie
+### Monotonie
 
 Řekněme, že posloupnost $(a_n)$ je
 
@@ -44,9 +49,11 @@ Minimem (max, inf, sup) posloupnosti $(a_n)$ s oborem hodnot $H$ je minimem (max
 ### Vlastní limita
 
 Posloupnost $(a_n)$ má vlastní limitu $a \in R$, pokud
-$$\displaystyle \forall \epsilon \in \mathbb{R} > 0 \quad \exists n_{0} \in \mathbb{N} \quad \forall n \in \mathbb{N} : n > n_{0} \implies |a_{n} - a| < \epsilon.$$
+$$\displaystyle \forall \, \epsilon \in \mathbb{R} > 0 \quad \exists \, n_{0} \in \mathbb{N} \quad \forall \, n \in \mathbb{N} : n > n_{0} \implies |a_{n} - a| < \epsilon.$$
 
-Píšeme $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = a$ nebo $a_{n} \to a$.
+Píšeme
+- $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = a$
+- $a_{n} \to a$
 
 Pozn.: $a - \epsilon < a_{n} < a + \epsilon$
 - Pro jakoukoli šířku pásma existuje standardní hodnota, všechna následující $n$ mají $a_n$ uvnitř $\epsilon$-pásem
@@ -68,9 +75,9 @@ Každá posloupnost má nejvýše 1 limitu.
 ### Algebra vlastních limit
 
 Nechť $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = a$ a $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } b_{n} = b$, pak
-1) $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } (\alpha \times a_{n} + \beta \times b_{n}) = \alpha \times a + \beta \times b$, pokud je pravá strana definována,
+1) $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } (\alpha \cdot a_{n} + \beta \cdot b_{n}) = \alpha \cdot a + \beta \cdot b$, pokud je pravá strana definována,
 
-2) $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } (a_{n} \times b_{n}) = a \times b$, pokud je pravá strana definována,
+2) $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } (a_{n} \cdot b_{n}) = a \cdot b$, pokud je pravá strana definována,
 
 3) $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } (\frac{a_{n}}{b_{n}}) = \frac{a}{b}$,  pokud $b_{n} \neq 0$ pro všechna $n \in N$ a pokud je pravá strana definována.
 
@@ -81,7 +88,7 @@ Nechť $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = a$ a $\displaystyle \lim_{ n
 
 ## Konvergence a divergence
 
-Řekněme, že $(a_n)$ je
+Řekněme, že posloupnost $(a_n)$ je
 
 | značka | typ                     | podmínka                         |
 | ------ | ----------------------- | -------------------------------- |
@@ -91,6 +98,7 @@ Nechť $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = a$ a $\displaystyle \lim_{ n
 |        | divergentní k $-\infty$ | má-li nevlastní limitu $-\infty$ |
 
 ### Omezenost a limity
+
 1) Je-li posloupnost konvergentní (**K**), pak je i omezená (**O**)
 
 2) Diverguje-li posloupnost k $+\infty$, pak je omezená pouze zdola (**OZ**)