Přidání poznámek z NM k vlastním číslům

KMA NM/Vlastní čísla.md

@@ -0,0 +1,57 @@
+# Vlastní čísla
+
+## Částečný problém
+
+Hledáme dominantní vlastní číslo (pouze jedno, s největší absolutní hodnotou).
+
+### Mocninná metoda
+
+Vstup: matice $A$, sloupcový vektor $y^{(0)}$
+
+**Předpoklady**:
+- matice $A$ má $n$-lineárně nezávislých vlastních vektorů
+- existuje jediné dominantní vlastní číslo
+- vlastní čísla lze seřadit: $|\lambda_{1}| > |\lambda_{2}| \geq |\lambda_{3}| \geq \dots \geq |\lambda_{n}|$
+
+**Postup**:
+1. pomocí iterační formule $y^{(k+1)} = A\cdot y^{(k)}$ počítáme další $y^{(k+1)}$ ($k = 0, 1, \dots$)
+2. z vektoru $y^{(k+1)}$ vybereme index $i$, kde $|y^{(k+1)}_{i}|$ je největší
+3. vypočítáme přibližné vl. číslo $\lambda^{(k+1)} = \frac{y^{(k+1)}_{i}}{y^{(k)}_{i}}$
+	- použijeme hodnoty na $i$-tém indexu v aktuálním a předchozím vektoru $y$
+4. opakujeme, pokud neplatí zastavovací podmínka
+
++ **zastavovací podmínka**: $|\lambda^{(k+1)} - \lambda^{(k)}| < \epsilon$
+
+**Poznámky**:
+- v Matlabu ověříme vl. čísla pomocí funkce `eig(A)`
+- kvůli přetečení/podtečení je vhodné vektor $y^{(k+1)}$ v každém kroku normovat
+
+### Rayleigho metoda
+
+Tato metoda je velice podobná mocninné metodě, ale pro výpočet lambdy použijeme **jiný vzorec** níže.
+
+$\displaystyle\lambda_{k} = \frac{y^{(k-1)^T} \cdot y^{(k)}}{y^{(k-1)^T} \cdot y^{(k-1)}}$
+
+**Poznámky**:
+- vhodné pouze pro matice blízce symetrické (hodnoty jsou téměř symetrické)
+- konverguje k nule zhruba dvakrát rychleji
+
+## Úplný problém
+
+Tímto způsobem nalezneme všechna vlastní čísla matice.
+
+### LU rozklad
+
+**Postup**:
+1. $A_{0} = A, k = 0$
+2. provedeme LU rozklad matice $A_{k} = L_{k}U_{k}$
+3. sestrojíme matici $A_{k+1} = U_{k}L_{k}$ (matice prohodíme)
+4. pokud je $A_{k+1}$ horní trojúhelníková -> konec, jinak $k = k+1$ a jdeme na 2. krok
+
+Pokud je matice $A_{k+1}$ horní trojúhelníková (nebo jsou hodnoty pod diagonálou blízko nule), poté máme na diagonále všechna vlastní čísla matice $A$.
+
+### QR transformace
+
+Podobné LU rozkladu, ale rozdílný vzoreček:
+
+$A_{k+1} = Q^T_{k}A_{k}Q_{k}, k = 0, 1, 2, \dots$