Doplnění a úpravy poznámek z LAA

KMA LAA/1. Polynomy.md

@@ -8,7 +8,7 @@ $$p(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + . . . + a_{1}x + a_0 \ \ \ \forall x \in C, a
 
 neboli
 
-$$\displaystyle p(x) = \sum^n_{i=0} a_{i}x^i$$
+$$\displaystyle p(x) = \sum^n_{i=0} a_{i}x^i.$$
 
 Hodnoty $a_i$ nazýváme **koeficienty** polynomu $p(x)$.
 

KMA LAA/6. Lineární zobrazení.md

@@ -4,6 +4,8 @@
 - $V = R^3$ - po zobrazení
 - $\mathbb{L} : U \to V$
 
+Nazývá se také **homomorfizmus**.
+
 ### Ověření linearity zobrazení
 
 - zkontrolovat, že platí
@@ -26,6 +28,10 @@ Zapíšu zobrazení do matice, po provedení GJEM zjistím, které prvky se zobr
 
 Vypočítám jej opět zapsáním zobrazení do matice a provedením GJEM. Obrazem je poté LN množina vektorů (podobné jako u báze).
 
+### Identické zobrazení
+
+Zobrazení definované vztahem $F(x) = (x)$.
+
 ### Prosté zobrazení
 
 Každý prvek z prostoru $U$ se zobrazí přesně na jeden prvek z prostoru $V$.
@@ -35,10 +41,14 @@ Každý prvek z prostoru $U$ se zobrazí přesně na jeden prvek z prostoru $V$.
 
 Lineární zobrazení je **izomorfizmem**, pokud je **prosté** a zároveň $\dim(Im \space \mathbb{L}) = \dim(V)$.
 
-### Matice lineárního zobrazení
+## Matice lineárního zobrazení
 
 Nejsnadnější způsob, jak počítačově popsat lineární zobrazení.
 
+Znázorňuje vztah souřadnicemi prvku vzhledem k jedné bázi a souřadnicemi zobrazení prvku vzhledem k druhé bázi.
+- **Dimenze obrazu** lineárního zobrazení $\mathbb{L}$ je **stejná jako hodnost matice** lineárního zobrazení.
+- Pokud je matice lineárního zobrazení **regulání**, lineární zobrazení je **izomorfizmus**.
+
 **Postup**:
 - Určete matici zobrazení $\mathbb{L}$ v bázích $B_{1}$ a $B_{2}$.
 1. Vektory první báze **zobrazím pomocí lineárního zobrazení**.
@@ -51,4 +61,14 @@ Nejsnadnější způsob, jak počítačově popsat lineární zobrazení.
 
 Matice identického lineárního zobrazení vzhledem k bázím $B_{1}$ a $B_{2}$.
 
-Postup je stejný jako u matice lineárního zobrazení, jen prvky první báze nezobrazuji a rovnou je zapíšu do matice.
+Postup je stejný jako u matice lineárního zobrazení, jen prvky první báze nezobrazuji a rovnou je zapíšu do matice.
+
+### Složené zobrazení
+
+Nechť $\mathbb{L}_{1} : U \to V, \mathbb{L}_{2} : V \to W$ a báze v $U, V, W$ jsou $C, D, E$. A je matice $\mathbb L_1$ vzhledem k bázím $C, D$ a $B$ je matice $\mathbb L_{2}$ vhledem k bázím $D, E$.
+
+Složené zobrazení $\mathbb L = \mathbb L_{2} \circ \mathbb L_{1} : U \to W$ je lineární a jeho matice vzhledem k bázím $C, E$ je rovna matici $B \cdot A$.
+
+Důsledky:
+- Pro uvedené matice lin. zobr. platí: $hod(B \cdot A) \leq \min\{hod(A), hod(B)\}$.
+- Pokud je lineární zobrazení izomorfizmus s maticí $A$ vzhledem k bázím $C, D$, potom inverzní zobrazení má vzhledem k bázím $D, C$ matici $A^{-1}$.

KMA LAA/8. Vlastní čísla a vlastní vektory.md

@@ -34,14 +34,16 @@ Při změně báze se vlastní čísla ani vlastní vektory nemění. Vektory js
 2. Vypočítáme GJEM z matice s dosazenou lambdou
 3. Pomocí $n-hod(\lambda I-A)$ zjistíme počet dosazovaných LN vektorů
 4. Do vlastního vektoru odzadu dosadíme LN vektory (pokud jen 1, dosadíme nenulové číslo)
-	- běžně např $(x, 1, 0)$ a $(x, 0, 1)$
+	- běžně např. $(x, 1, 0)$ a $(x, 0, 1)$
 5. Dopočítáme pomocí rovnic v matici zbytek souřadnic
    např.: $h_{1} = [2, -1, 1]^T$
 
-Pokud nám chybí některé $h_{i}$ (máme vícenásobné vl. číslo ale $n-hod(\lambda I-A)$ vyjde menší), je možné $h_3$ dopočítat opakováním postupu pro $(\lambda I-A)\times x = -h_{2}$.
-
 Vlastním vektorem $h_{1} = [2, -1, 1]$ se myslí $t\cdot [2, -1, 1], t\in R$
 
+### Zobecněné vlastní vektory
+
+Pokud nám chybí některé $h_{i}$ (máme vícenásobné vl. číslo ale $n-hod(\lambda I-A)$ vyjde menší), je možné $h_3$ dopočítat opakováním postupu pro $(\lambda I-A) = -h_{2}$, kde $-h2$ bude v pravém sloupci.
+
 ### Podobnost matic
 
 Matice $A$ a $B$ jsou podobné, jestli existuje matice $T$ taková, aby platilo $A = T^{-1}BT$.