37 lines
1.6 KiB
Markdown
37 lines
1.6 KiB
Markdown
|
### Zadání
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Homogenní válec o poloměru **R** a hmotnosti **m** se beze smyku valí po nakloněné rovině ve směru spádnice. Délka nakloněné roviny je **s**, úhel jejího sklonu je **α**. V nejvyšším bodě byl válec v klidu a pohybuje se jen vlivem vlastní tíhy. Vypočítejte, jakou rychlost bude mít těžiště válce při opuštění nakloněné roviny.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
- $s$ - délka nakloněné roviny (NR)
|
|||
|
|
- $\alpha$ - úhel sklonu NR
|
|||
|
|
- $v = \, ?$ - rychlost válce
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
|
|
- tíhové pole $\to$ konzervativní $\implies$ zákon zachování mechanické energie
|
|||
|
|
- $W_{kin} + W_{pot} = \text{konst.}$
|
|||
|
|
- kinetická + potenciální
|
|||
|
|
+ $\frac{h}{s} = \sin \alpha$
|
|||
|
|
+ $h = \sin \alpha \cdot s$
|
|||
|
|
- pro valení válce bez prokluzu platí
|
|||
|
|
- $2\pi R = v \cdot T$ (T = perioda)
|
|||
|
|
- $\displaystyle \frac{2\pi}{T} = \frac{v}{R}$ ($\displaystyle \frac{2\pi}{T} = \omega$ - úhlová rychlost)
|
|||
|
|
- $\displaystyle \omega = \frac{v}{R}$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
### Výpočet
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$\emptyset + m \cdot g \cdot h = \left[ \left( \frac{1}{2}m \cdot v^2 \right) + \left( \frac{1}{2}J \cdot \omega^2 \right) \right] + \emptyset$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$m \cdot g \cdot h = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}J\omega^2$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$m \cdot g \cdot h = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}\left( \frac{1}{2}m \cdot R^2 \right)\cdot\left( \frac{v}{R} \right)^2$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$\cancel{m} \cdot g \cdot h = \frac{1}{2}\cancel{m}v^2 + \frac{1}{4}\cancel{m \cdot R^2} \cdot \frac{v^2}{\cancel{R^2}}$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$g \cdot h = \frac{3}{4}v^2 \implies v^2 = \frac{4}{3}gh$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
### Výsledek
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$v^2 = \frac{4}{3}gh = \frac{4}{3} g \cdot s \cdot \sin \alpha$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$v = \sqrt{ \frac{4}{3} \cdot g \cdot s \cdot \sin \alpha }$
|