FAV-ZCU/KFY FYI1/Priklad07.md

Zadání

Homogenní válec o poloměru R a hmotnosti m se beze smyku valí po nakloněné rovině ve směru spádnice. Délka nakloněné roviny je s, úhel jejího sklonu je α. V nejvyšším bodě byl válec v klidu a pohybuje se jen vlivem vlastní tíhy. Vypočítejte, jakou rychlost bude mít těžiště válce při opuštění nakloněné roviny.

• s - délka nakloněné roviny (NR)
• \alpha - úhel sklonu NR
• v = \, ? - rychlost válce

• tíhové pole \to konzervativní \implies zákon zachování mechanické energie
  • W_{kin} + W_{pot} = \text{konst.}
  • kinetická + potenciální

• \frac{h}{s} = \sin \alpha
• h = \sin \alpha \cdot s

• pro valení válce bez prokluzu platí
  • 2\pi R = v \cdot T (T = perioda)
  • \displaystyle \frac{2\pi}{T} = \frac{v}{R} (\displaystyle \frac{2\pi}{T} = \omega - úhlová rychlost)
  • \displaystyle \omega = \frac{v}{R}

Výpočet

\emptyset + m \cdot g \cdot h = \left[ \left( \frac{1}{2}m \cdot v^2 \right) + \left( \frac{1}{2}J \cdot \omega^2 \right) \right] + \emptyset

m \cdot g \cdot h = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}J\omega^2

m \cdot g \cdot h = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}\left( \frac{1}{2}m \cdot R^2 \right)\cdot\left( \frac{v}{R} \right)^2

\cancel{m} \cdot g \cdot h = \frac{1}{2}\cancel{m}v^2 + \frac{1}{4}\cancel{m \cdot R^2} \cdot \frac{v^2}{\cancel{R^2}}

g \cdot h = \frac{3}{4}v^2 \implies v^2 = \frac{4}{3}gh

Výsledek

v^2 = \frac{4}{3}gh = \frac{4}{3} g \cdot s \cdot \sin \alpha

v = \sqrt{ \frac{4}{3} \cdot g \cdot s \cdot \sin \alpha }