61 lines
2.5 KiB
Markdown
61 lines
2.5 KiB
Markdown
|
# Částečně uspořádané množiny
|
||
|
|
|
||
|
|
**Uspořádání** na množině $X$ je libovolná relace na $X$, která je **reflexivní**, slabě **antisymetrická** a **tranzitivní**.
|
||
|
|
|
||
|
|
Je-li $R$ uspořádání na množině $X$, pak dvojice $(X, R)$ se nazývá **uspořádaná množina**. Jsou-li prvky $x, y$ v relaci $R$ (tedy $x \, R \, y$), interpretujeme to slovy "**prvek x je menší nebo roven prvku y**".
|
||
|
|
|
||
|
|
Z uvedené definice se uspořádáním říká také **neostrá uspořádání**, protože pro každé $x$ platí $x \, R \, x$. (U ostrého uspořádání bychom místo reflexivity vyžadovali antireflexitu)
|
||
|
|
|
||
|
|
## Porovnatelnost prvků
|
||
|
|
|
||
|
|
Nechť $x, y$ jsou dva prvky uspořádané množiny $(X, \leq)$. Platí-li $x \leq y$ nebo $y \leq x$, jsou prvky $x, y$ **porovnatelné**, v opačném případě **neporovnatelné**.
|
||
|
|
|
||
|
|
Uspořádání $\leq$ se často označuje jako **částečné** (POSET), protože definice připouští existenci dvojic neporovnatelných prvků.
|
||
|
|
|
||
|
|
## Základní pojmy
|
||
|
|
|
||
|
|
**Největší prvek**
|
||
|
|
- $a \in X$, pokud pro každé $x \in X$ platí $x \leq a$
|
||
|
|
- musí být maximálním prvkem
|
||
|
|
- nemusí existovat, případně určen jednoznačně
|
||
|
|
|
||
|
|
**Nejmenší prvek**
|
||
|
|
- $a \in X$, pokud pro každé $x \in X$ platí $a \leq x$
|
||
|
|
- musí být minimálním prvkem
|
||
|
|
- nemusí existovat, případně určen jednoznačně
|
||
|
|
|
||
|
|
**Maximální prvek**
|
||
|
|
- $a \in X$, pokud pro žádné $x \in X$ není $a \leq x$
|
||
|
|
- prvky, které nejsou v relaci se žádným větším prvkem
|
||
|
|
- může jich být více
|
||
|
|
|
||
|
|
**Minimální prvek**
|
||
|
|
- $a \in X$, pokud pro žádné $x \in X$ není $x \leq a$
|
||
|
|
- prvky, které nejsou v relaci se žádným menším prvkem
|
||
|
|
- může jich být více
|
||
|
|
|
||
|
|
**Infimum**
|
||
|
|
- TODO
|
||
|
|
|
||
|
|
**Supremum**
|
||
|
|
- TODO
|
||
|
|
|
||
|
|
TODO
|
||
|
|
|
||
|
|
**Výška POSETu**
|
||
|
|
- označíme $\text{height}(\mathcal P)$, je největší $h$ takové, že existuje řetězec $h$ prvků v $\mathcal P$
|
||
|
|
|
||
|
|
**Šířka POSETu**
|
||
|
|
- označíme $\text{width}(\mathcal P)$, je největší $w$ takové, že existuje antiřetězec $w$ prvků v $\mathcal P$
|
||
|
|
|
||
|
|
**Duální POSET** $\mathcal P^{d} = (X, \mathcal P^d)$ k POSETu $\mathcal P$
|
||
|
|
- $P^d = \{ (x,y) \mid (x, y) \in \, \leq \}$
|
||
|
|
- Pokud pro POSET $\mathcal P$ existuje Hasseův diagram, pak Hasseův diagram pro $\mathcal P^d$ získáme jeho otočením "vzhůru nohama".
|
||
|
|
- Relace $\mathcal P^d$ je inverzní k relaci $\mathcal P$.
|
||
|
|
|
||
|
|
## Řetězce a antiřetězce
|
||
|
|
|
||
|
|
TODO
|
||
|
|
|
||
|
|
**Řetěz**
|
||
|
|
- Řetězem délky $k$ nad abecedou $\Gamma = \{ \sigma_{1}, \sigma_{2}, \dots, \sigma_{n} \}$ velikosti $n$ budeme rozumět posloupnost $$
|