FAV-ZCU/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/07. Částečně uspořádané množiny.md

Částečně uspořádané množiny

Uspořádání na množině X je libovolná relace na X, která je reflexivní, slabě antisymetrická a tranzitivní.

Je-li R uspořádání na množině X, pak dvojice (X, R) se nazývá uspořádaná množina. Jsou-li prvky x, y v relaci R (tedy $x , R , y$), interpretujeme to slovy "prvek x je menší nebo roven prvku y".

Z uvedené definice se uspořádáním říká také neostrá uspořádání, protože pro každé x platí x \, R \, x. (U ostrého uspořádání bychom místo reflexivity vyžadovali antireflexitu)

Porovnatelnost prvků

Nechť x, y jsou dva prvky uspořádané množiny (X, \leq). Platí-li x \leq y nebo y \leq x, jsou prvky x, y porovnatelné, v opačném případě neporovnatelné.

Uspořádání \leq se často označuje jako částečné (POSET), protože definice připouští existenci dvojic neporovnatelných prvků.

Základní pojmy

Největší prvek

• a \in X, pokud pro každé x \in X platí x \leq a
• musí být maximálním prvkem
• nemusí existovat, případně určen jednoznačně

Nejmenší prvek

• a \in X, pokud pro každé x \in X platí a \leq x
• musí být minimálním prvkem
• nemusí existovat, případně určen jednoznačně

Maximální prvek

• a \in X, pokud pro žádné x \in X není a \leq x
• prvky, které nejsou v relaci se žádným větším prvkem
• může jich být více

Minimální prvek

• a \in X, pokud pro žádné x \in X není x \leq a
• prvky, které nejsou v relaci se žádným menším prvkem
• může jich být více

Infimum

• TODO

Supremum

• TODO

TODO

Výška POSETu

• označíme \text{height}(\mathcal P), je největší h takové, že existuje řetězec h prvků v \mathcal P

Šířka POSETu

• označíme \text{width}(\mathcal P), je největší w takové, že existuje antiřetězec w prvků v \mathcal P

Duální POSET \mathcal P^{d} = (X, \mathcal P^d) k POSETu \mathcal P

• P^d = \{ (x,y) \mid (x, y) \in \, \leq \}
• Pokud pro POSET \mathcal P existuje Hasseův diagram, pak Hasseův diagram pro \mathcal P^d získáme jeho otočením "vzhůru nohama".
• Relace \mathcal P^d je inverzní k relaci \mathcal P.

Řetězce a antiřetězce

TODO

Řetěz

• Řetězem délky k nad abecedou \Gamma = \{ \sigma_{1}, \sigma_{2}, \dots, \sigma_{n} \} velikosti n budeme rozumět posloupnost