49 lines
2.1 KiB
Markdown
49 lines
2.1 KiB
Markdown
|
# Grafy
|
||
|
|
|
||
|
|
**Graf** $G$ je dvojice $G = (V, E)$, kde $V$ je konečná množina a $E \subset \left({V \atop 2}\right)$, přičemž
|
||
|
|
- $\left({V \atop 2}\right) = \{\{x,y\}: x,y\in V\text{ a } x\neq y\}$
|
||
|
|
|
||
|
|
je množina všech dvouprvkových množin (neuspořádaných dvojic) prvků množiny $V$.
|
||
|
|
|
||
|
|
- $V(G)$ - prvky množiny $V$ - vrcholy (uzly) grafu $G$
|
||
|
|
- $V(E)$ - prvky množiny $E$ - hrany grafu $G$
|
||
|
|
|
||
|
|
Vrcholy $x,y \in V$ jsou sousední, pokud $\{x,y\}\in E$.
|
||
|
|
|
||
|
|
**Faktor grafu** $G$ je libovolný jeho podgraf, jehož množina vrcholů je $V(G)$. Faktor je vlastní, je-li různý od grafu $G$.
|
||
|
|
|
||
|
|
**Rovnost grafů** $G_{1} = G_{2}$
|
||
|
|
- $G_{1} = (V_{1}, E_{1}), G_{2} = (V_{2}, E_{2})$, pokud $V_{1} = V_{2}, E_{1} = E_{2}$
|
||
|
|
|
||
|
|
## Stupeň vrcholu
|
||
|
|
|
||
|
|
**Stupeň vrcholu** v grafu $G$ je počet gran grafu $G$, které obsahují vrchol $v$. Značí se $d_{G}(v)$.
|
||
|
|
- V grafu o n vrcholech je stupeň každého vrcholu nejvýše $n-1$.
|
||
|
|
|
||
|
|
## Neorientovaný graf
|
||
|
|
|
||
|
|
- hrany jsou definovány jako neuspořádané dvojice vrcholů
|
||
|
|
- odpovídá relaci na V, která je antireflexivní a symetrická
|
||
|
|
|
||
|
|
## Orientovaný graf
|
||
|
|
|
||
|
|
- Orientovaný graf je dvojice $G = (V, E)$, kde $V$ je množina vrcholů a $E \subseteq V \times V$ je množina hran. (hrany jsou nyní prvky kartézského součinu, tedy uspořádané dvojice vrcholů)
|
||
|
|
- orientované grafy odpovídají binárním relacím
|
||
|
|
- graf může obsahovat dvojici protichůdných hran
|
||
|
|
- má upravené definice některých pojmů
|
||
|
|
|
||
|
|
## Základní grafy
|
||
|
|
|
||
|
|
### Bipartitní graf
|
||
|
|
|
||
|
|
**Biparitní (sudý) graf** $K_{m, n}$ má množinu vrcholů rozdělitelnou na dvě **disjunktní množiny** $A, B$ tak, že žádné dva **vrcholy ze stejné množiny nejsou spojeny** hranou.
|
||
|
|
- $V = A \cup B, A \cap B = \emptyset$
|
||
|
|
- $E \subseteq \{ \{a,b\} \mid a \in A, b \in B \}$
|
||
|
|
|
||
|
|
### Úplný graf
|
||
|
|
|
||
|
|
**Úplný graf** na n vrcholech (značený $K_{n}$) obsahuje jako hrany všechny neuspořádané dvojice prvků $[n]$, takže $V(K_{n}) = [n], E(K_{n}) = \left({[n] \atop 2}\right)$.
|
||
|
|
|
||
|
|
### Diskrétní graf
|
||
|
|
|
||
|
|
**Diskrétní graf** $D_{n}$ na n vrcholech nemá žádné hrany: $V(D_n) = [n], E(D_{n}) = \emptyset$.
|