100 lines
2.9 KiB
Markdown
100 lines
2.9 KiB
Markdown
|
# Matice
|
||
|
|
|
||
|
|
Maticí **typu m/n** nazveme soubor (tabulku) m x n prvků (čísel) $a_{ij}$ zapsaných do **m řádků** a **n sloupců**.
|
||
|
|
|
||
|
|
| značení | význam |
|
||
|
|
| ---------- | -------------------------- |
|
||
|
|
| ($i$, $j$) | pozice v matici |
|
||
|
|
| $a_{ij}$ | prvek na pozici ($i$, $j$) |
|
||
|
|
| $i$ | řádkový index |
|
||
|
|
| $a_{kk}$ | diagonální prvek matice |
|
||
|
|
| $m/n$ | typ matice: $m$ řádků, $n$ sloupců |
|
||
|
|
|
||
|
|
### Názvy matic
|
||
|
|
|
||
|
|
##### Tvarové
|
||
|
|
- **Čtvercová matice**
|
||
|
|
- mají stejný počet řádků a sloupců
|
||
|
|
- **Obdélníková matice**
|
||
|
|
- rozdílný počet řádků a sloupců
|
||
|
|
- **$m$-složkový sloupcový vektor**
|
||
|
|
- matice typu $m/1$
|
||
|
|
- **$n$-složkový řádkový vektor**
|
||
|
|
- matice typu $1/n$
|
||
|
|
|
||
|
|
##### Další
|
||
|
|
- **Nulová matice**
|
||
|
|
- matice $m/n$ plná nul, značíme 0
|
||
|
|
$$\begin{bmatrix}
|
||
|
|
0 & 0 & 0 \\
|
||
|
|
0 & 0 & 0
|
||
|
|
\end{bmatrix}$$
|
||
|
|
- **Diagonální matice**
|
||
|
|
- čtvercová matice s nenulovými čísly pouze na diagonále
|
||
|
|
$$diag\{1, -3, 0\} = A = \begin{bmatrix}
|
||
|
|
-1 & 0 & 0 \\
|
||
|
|
0 & -3 & 0 \\
|
||
|
|
0 & 0 & 0
|
||
|
|
\end{bmatrix}$$
|
||
|
|
- **Jednotková matice**
|
||
|
|
- diagonální matice s 1 na diagonále
|
||
|
|
$$I = \begin{bmatrix}
|
||
|
|
1 & 0 & 0 \\
|
||
|
|
0 & 1 & 0 \\
|
||
|
|
0 & 0 & 1
|
||
|
|
\end{bmatrix}$$
|
||
|
|
- **Symetrická matice**
|
||
|
|
- čtvercová matice, kde se $a_{ij}$ rovná $a_{ji}$
|
||
|
|
$$A_{1} = \begin{bmatrix}
|
||
|
|
1 & \underline{2} & \underline{1} \\
|
||
|
|
\underline{2} & 1 & \underline{0} \\
|
||
|
|
\underline{1} & \underline{0} & 3
|
||
|
|
\end{bmatrix}$$
|
||
|
|
- **Antisymetrická matice**
|
||
|
|
- čtvercová matice, kde se $a_{ij}$ rovná -$a_{ji}$
|
||
|
|
$$A_{2} = \begin{bmatrix}
|
||
|
|
0 & \underline{2} & \underline{-1} \\
|
||
|
|
\underline{-2} & 0 & \underline{3} \\
|
||
|
|
\underline{1} & \underline{-3} & 0
|
||
|
|
\end{bmatrix}$$
|
||
|
|
- **Poznámka**: V antisymetrické matici jsou všechny prvky $a_{ii} = 0$
|
||
|
|
- **Horní a dolní trojůhelníková matice**
|
||
|
|
- Pro H platí $a_{ij} = 0$ pro všechna $i > j$
|
||
|
|
- Pro D platí $a_{ij} = 0$ pro všechna $i < j$
|
||
|
|
$$H = \begin{bmatrix}
|
||
|
|
1 & 2 & 1 \\
|
||
|
|
0 & 3 & 0 \\
|
||
|
|
0 & 0 & 4
|
||
|
|
\end{bmatrix} \ \ \ D = \begin{bmatrix}
|
||
|
|
1 & 0 & 0 \\
|
||
|
|
2 & 2 & 0 \\
|
||
|
|
1 & 1 & 0
|
||
|
|
\end{bmatrix}$$
|
||
|
|
|
||
|
|
### Operace
|
||
|
|
|
||
|
|
- **Rovnost**
|
||
|
|
- $A = B$ pokud všechny $a_{ij} = b_{ij}$
|
||
|
|
- **Opačná matice**
|
||
|
|
- matice $[-a_{ij}]$ značená $-A$ je opačná matice k matici $A$
|
||
|
|
- **Transponovaná matice**
|
||
|
|
- matice $a_{ji}$ typu $n/m$ značená $A^T$ je transponovaná k matici $a_{ij}$ typu $m/n$ značené $A$
|
||
|
|
$$A = \begin{bmatrix}
|
||
|
|
1 & 2 & 3 \\
|
||
|
|
4 & 5 & 6
|
||
|
|
\end{bmatrix} \ \ \ A^T = \begin{bmatrix}
|
||
|
|
1 & 4 \\
|
||
|
|
2 & 5 \\
|
||
|
|
3 & 6
|
||
|
|
\end{bmatrix}$$
|
||
|
|
- z toho plyne:
|
||
|
|
- $A$ je symetrická, právě když $A = A^T$
|
||
|
|
- $A$ je antisymetrická, právě když $A = -A^T$
|
||
|
|
- $(A^T)^T = A$
|
||
|
|
- **Sčítání a odčítání**
|
||
|
|
- sčítáme/odčítáme prvky na stejných pozicí
|
||
|
|
- **Násobení konstantou**
|
||
|
|
- vynásobíme všechny členy konstantou
|
||
|
|
- **Násobení dvou matic**
|
||
|
|
- nekomutativní
|
||
|
|
- matice $A_{m/\underline{n}}$ a $B_{\underline{n}/p}$
|