Znachor/FAV-ZCU
2
2
Fork 0
Code Issues Pull requests Releases Activity

Poznámky z M1 a LAA

Browse source
This commit is contained in:
Filip Znachor 2022-12-03 12:47:17 +01:00
commit 4eacaaae92
14 changed files with 544 additions and 0 deletions
Show stats Download patch file Download diff file Expand all files Collapse all files

1
.gitignore vendored Normal file
View file

@ -0,0 +1 @@
.obsidian

9
KMA LAA/0. Komplexní čísla.md Normal file
View file

@ -0,0 +1,9 @@
# Komplexní čísla
z = a + bi
$i^2 = -1$
### Komplexně sdružené číslo
Komplex. sdružené číslo k $x = a + bi$ je $\overline{x} = a - bi$

82
KMA LAA/1. Polynomy.md Normal file
View file

@ -0,0 +1,82 @@
# Polynomy
Nechť $a_0, \dots , a_n$ jsou komplexní čísla, $n \geq 0$ přirozené.
Polynomem (mnohočlenem) $p$ proměnné $x$ nazýváme předpis
$$p(x) = a_nx^n + a_{n−1}x^{n−1} + . . . + a_{1}x + a_0 \ \ \ \forall x \in C, a_{n} \neq 0$$
neboli
$$\displaystyle p(x) = \sum^n_{i=0} a_{i}x^i$$
Hodnoty $a_i$ nazýváme **koeficienty** polynomu $p(x)$.
### Stupeň polynomu
Stupeň polynomu $p(x)$ je **nejvyšší mocnina proměnné $x$** u níž je nenulový koeficient.
### Nulový polynom
Nulový polynom je polynom, který má všechny **koeficienty rovny 0**.
### Operace s polynomy
1) Rovnost: $p(x) = q(x)$
$p(x) = 3x^2 - 8x + 6$
$q(x) = 6 - 3x^2 - 8x + 6x^2$
2) Opačný polynom: $-p(x)$
$p(x) = 3x^2 - 8x + 6$
$-p(x) = -3x^2 + 8x - 6$
3) Součet: $p(x) + q(x)$
$p(x) + q(x) = 6x^2 - 16x + 12$
4) Rozdíl: $p(x) - q(x)$
$p(x) - q(x) = u(x) = o$
5) k-násobek: $k \times p(x)$
$-3 \times p(x) = -9x^2 + 24x - 18$
6) Součin: $p(x) \times q(x)$
$p(x) \times q(x) = 9x^4 - 48x^3 + 100x^2 - 96x + 36$
7) Podíl: $\frac{p(x)}{q(x)}$
písemné dělení
### Funkční hodnota v bodě
Hornerovo schématem, kde $c$ je požadovaná hodnota.
### Kořen
Nechť $p(x)$ je polynom proměnné $x$. Číslo $c \in C$ takové, že $p(c) = 0$ nazveme kořenem polynomu $p(x)$.
Každý polynom stupně alespoň 1 má v $C$ alespoň jeden kořen.
Je-li $c$ kořenem polynomu $p(x)$, pak $p(x) = s(x) (x − c)$, kde $st(s(x)) = st(p(x)) − 1$.
#### Komplexní rozklad na součin kořenových činitelů
Každý polynom $p(x)$ stupně $n$ lze vyjádřit ve tvaru $p(x) = (x − c_1)(x − c_2)(x − c_3) \dots (x − c_n)$, kde $c_1, c_2, \dots c_n$ jsou všechny kořeny polynomu $p(x)$.
Hodnoty $c_1, c_2, \dots, c_n$ nemusí být nutně navzájem různé. Každý polynom stupně $n \ge 1$ má v $C$ právě $n$ kořenů.
#### Reálný rozklad na součin kořenových činitelů
Sdružíme-li dvojice komplexně sdružených kořenů a následně jejich kořenové činitele roznásobíme, získáme reálný rozklad na součin kořenových činitelů.
Polynom $p(x)$ pak je ve tvaru
$$p(x)$ = $a_n(x−c_1)(x−c_2) \dots (x−c_k)(x^2+u_1x+v_1)(x^2+u_2x+v_2) \dots (x^2+u_mx+v_m),$$
kde $c_1, c_2, \dots, c_k$ jsou reálné kořeny polynomu $p(x)$, $b_1, \overline{b_1}, b_2, \overline{b_2}, \dots, b_m, \overline{b_m}$ jsou všechny dvojice komplexně sdružených kořenů $p(x)$ a $x^2 + u_ix + v_i = (x − b_i)(x − \overline{b_i})$.
### Speciální typy polynomů
- binomické
- $x^n + a_0$ - přes vzorce $a^2 − b^2$, $a^3 ± b^3$ atd., nebo přes $n$-tou odmocninu $a_0$
- reciproké
- platí, že $a_{n−i} = a_i$ pro všechna $i$, nebo $a_{n−i} = −a_i$ pro všechna $i$ - kořeny ±1, substituce $y = x + 1/x$
- trinomické
- $a_{2k}x^{2k} + a_{k}x^k + a_{0}$ - substituce typu $y = x^k$

100
KMA LAA/2. Matice.md Normal file
View file

@ -0,0 +1,100 @@
# Matice
Maticí **typu m/n** nazveme soubor (tabulku) m x n prvků (čísel) $a_{ij}$ zapsaných do **m řádků** a **n sloupců**.
| značení | význam |
| ---------- | -------------------------- |
| ($i$, $j$) | pozice v matici |
| $a_{ij}$ | prvek na pozici ($i$, $j$) |
| $i$ | řádkový index |
| $a_{kk}$ | diagonální prvek matice |
| $m/n$ | typ matice: $m$ řádků, $n$ sloupců |
### Názvy matic
##### Tvarové
- **Čtvercová matice**
- mají stejný počet řádků a sloupců
- **Obdélníková matice**
- rozdílný počet řádků a sloupců
- **$m$-složkový sloupcový vektor**
- matice typu $m/1$
- **$n$-složkový řádkový vektor**
- matice typu $1/n$
##### Další
- **Nulová matice**
- matice $m/n$ plná nul, značíme 0
$$\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}$$
- **Diagonální matice**
- čtvercová matice s nenulovými čísly pouze na diagonále
$$diag\{1, -3, 0\} = A = \begin{bmatrix}
-1 & 0 & 0 \\
0 & -3 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}$$
- **Jednotková matice**
- diagonální matice s 1 na diagonále
$$I = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}$$
- **Symetrická matice**
- čtvercová matice, kde se $a_{ij}$ rovná $a_{ji}$
$$A_{1} = \begin{bmatrix}
1 & \underline{2} & \underline{1} \\
\underline{2} & 1 & \underline{0} \\
\underline{1} & \underline{0} & 3
\end{bmatrix}$$
- **Antisymetrická matice**
- čtvercová matice, kde se $a_{ij}$ rovná -$a_{ji}$
$$A_{2} = \begin{bmatrix}
0 & \underline{2} & \underline{-1} \\
\underline{-2} & 0 & \underline{3} \\
\underline{1} & \underline{-3} & 0
\end{bmatrix}$$
- **Poznámka**: V antisymetrické matici jsou všechny prvky $a_{ii} = 0$
- **Horní a dolní trojůhelníková matice**
- Pro H platí $a_{ij} = 0$ pro všechna $i > j$
- Pro D platí $a_{ij} = 0$ pro všechna $i < j$
$$H = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 1 \\
0 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 4
\end{bmatrix} \ \ \ D = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
2 & 2 & 0 \\
1 & 1 & 0
\end{bmatrix}$$
### Operace
- **Rovnost**
- $A = B$ pokud všechny $a_{ij} = b_{ij}$
- **Opačná matice**
- matice $[-a_{ij}]$ značená $-A$ je opačná matice k matici $A$
- **Transponovaná matice**
- matice $a_{ji}$ typu $n/m$ značená $A^T$ je transponovaná k matici $a_{ij}$ typu $m/n$ značené $A$
$$A = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6
\end{bmatrix} \ \ \ A^T = \begin{bmatrix}
1 & 4 \\
2 & 5 \\
3 & 6
\end{bmatrix}$$
- z toho plyne:
- $A$ je symetrická, právě když $A = A^T$
- $A$ je antisymetrická, právě když $A = -A^T$
- $(A^T)^T = A$
- **Sčítání a odčítání**
- sčítáme/odčítáme prvky na stejných pozicí
- **Násobení konstantou**
- vynásobíme všechny členy konstantou
- **Násobení dvou matic**
- nekomutativní
- matice $A_{m/\underline{n}}$ a $B_{\underline{n}/p}$

45
KMA LAA/3. Lineární vektorové prostory.md Normal file
View file

@ -0,0 +1,45 @@
# Lineární vektorové prostory
Příklady:
| zápis | typ |
| ---------- | ------------------------------------------- |
| $R^2, R^3$ | geometrické vektory o 2, resp. 3 složkách |
| $R^n$ | n-tice reálných čísel (aritmetické vektory) |
| $M_{m,n}$ | všechny matice typu m/n (nad $R$, nad $C$) |
| $P_n$ | všechny polynomy stupně nejvýše n |
| $C(a,b)$ | všechny funkce spojité na $<a, b>$ |
Vektorový prostor V nad tělesem K:
- sčítání: $V + V \to V$
- násobení: $K \times V \to V$
| typ | pro všechna | platí |
| --- | ------------------------------------------------- | --------------------------------------------------------------- |
| S | $\forall \vec{u}, \vec{v} \in V$ | $\vec{u} + \vec{v} = \vec{w}$ |
| S | $\forall \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \in V$ | $\vec{u} + (\vec{v} + \vec{w}) = (\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w}$ |
| S | $\exists \vec{o} \in V : \forall \vec{u} \in V$ | $\vec{u} + \vec{o} = \vec{u}$ |
| S | $\forall \vec{u} \in V \ \ \exists \vec{v} \in V$ | $\vec{u} + \vec{v} = \vec{o}$ |
| N | $\forall \vec{u} \in V, \forall a, b \in K$ | $a \times (b \times \vec{u}) = (a \times b) \times \vec{u}$ |
| N | $\forall \vec{u} \in V$ | $1 \times \vec{u} = \vec{u}$ |
| D | $\forall \vec{u} \in V, \forall a, b \in K$ | $(a + b) \times \vec{u} = a\vec{u} + b\vec{u}$ |
| D | $\forall \vec{u}, \vec{v} \in V, \forall a \in K$ | $a \times (\vec{u} + \vec{v}) = a\vec{u} + a\vec{v}$ |
Mějme vektorový prostor V nad tělesem K. Množina $U \subseteq V$ je podprostorem V, pokud platí:
1) $\forall \vec{u}, \vec{v} \in U : \vec{u} + \vec{v} \in U$
2) $\forall \vec{u} \in U, \forall a \in K : a \times \vec{u} \in U$
- vyplývá, že v $U$ bude nulový vektor
Každý podprostor vektorového prostoru je také vektorovým prostorem.
### Lineární obal
- všechny lineární kombinace zadaných vektorů
- $<\vec{u}; \vec{v}>$
### Operace s podprostory
- Sjednocení $u_{1} \cup u_{2}$
- Musí platit:
- $u_{1} \subseteq u_{2}$
- $u_{2} \subseteq u_{1}$

0
KMA LAA/4. Determinant matice.md Normal file
View file

15
KMA LAA/5. Hodnost matice.md Normal file
View file

@ -0,0 +1,15 @@
# Hodnost matice
- počet nenulových řádků matice
#### Dělení matic
- **Regulární matice**
- její hodnost se rovná jejímu řádu - $hod(A) = n$
- její determinant je nenulový - $\det{A} \neq 0$
- existuje k ní inverzní matice - $\mbox{existuje } A^{-1}$
- **Singulární matice**
- její hodnost se je menší než její řádu - $hod(A) < n$
- její determinant je 0 - $\det{A} = 0$
- neexistuje k ní inverzní matice - $\mbox{neexistuje } A^{-1}$
### Určení hodnosti pomocí determinantu

25
KMA LAA/6. Lineární zobrazení.md Normal file
View file

@ -0,0 +1,25 @@
# Lineární zobrazení
$U = R^4$ - před zobrazením
$V = R^3$ - po zobrazení
$L : U \to V$
### Ověření linearity zobrazení
- zkontrolovat, že platí
- $L(V + V) = L(V) + L(V)$
- $L(k \times V) = k \times L(V)$
### Jádro
- všechny LK vektorů před zobrazením, které se po zobrazení rovnají 0
- zjištění přes zjištění LK
- $Ker \ L = \{ L(V) = 0 \}$
- zápis: $Ker \ L = {<\vec u; \vec v>}$
![[linearni-zobrazeni-jadro.png]]
### Obraz
- všechny LK vektorů po zobrazení
- zápis: $Im \ L = {<\vec u; \vec v>}$

2
KMA LAA/7. Soustavy lineárních rovnic.md Normal file
View file

@ -0,0 +1,2 @@
# Soustavy lineárních rovnic

32
KMA LAA/8. Vlastní čísla a vlastní vektory.md Normal file
View file

@ -0,0 +1,32 @@
# Vlastní čísla
- $A \times \vec{u} = \lambda \times \vec{u}$
$\vec{u} \in U \smallsetminus \{o\}$
- $(A-\lambda I) \times \vec{u} = o$
#### Vlastní čísla
1. Vypočítáme determinant matice
$\det{(\lambda I - A)}$
2. V průběhu si zkusíme vytknout něco s lambdou, např. $(\lambda-5)$
3. Výsledek zapíšeme ve tvaru $(\lambda-5)(\lambda+2)^2$ a získáme kořeny
$(\lambda_{1} = 5, \lambda_{2,3} = -2)$
#### Vlastní vektory
1. Dosadíme vlastní číslo za lambdu
2. Vypočítáme GJEM z matice s dosazenou lambdou
3. Pomocí $n-hod(\lambda I-A)$ zjistíme počet dosazovaných LN vektorů
4. Do vlastního vektoru odzadu dosadíme LN vektory (pokud jen 1, dosadíme nenulové číslo)
5. Dopočítáme pomocí rovnic v matici zbytek souřadnic
např.: $h_{1} = [2, -1, 1]^T$
Pokud nám chybí některé $h_{i}$ (máme vícenásobné vl. číslo ale $n-hod(\lambda I-A)$ vyjde menší), je možné $h_3$ dopočítat opakováním postupu pro $(\lambda I-A)\times x = -h_{2}$.
Vlastním vektorem $h_{1} = [2, -1, 1]$ se myslí $t\times [2, -1, 1], t\in R$
#### Jordanův kanonický tvar
1. Na diagonálu dáme jednotlivá vlastní čísla
2. Pokud jsme dopočítávali vlastní vektor pro některé vlastní číslo, je potřeba dát 1 nad diagonálu u Jordanova bloku

106
KMA M1/1. Posloupnosti.md Normal file
View file

@ -0,0 +1,106 @@
# Posloupnosti
## Zadání
| typ | příklad |
| ----------------------- | ------------------------------------------------------ |
| explicitní | $a_n = 2n$ |
| implicitní (rekurentní) | $\begin{cases} a_{n+1} = a_n + 2\\ a_1 = 1\end{cases}$ |
## Omezenost
Posloupnost $(a_n)$ s oborem hodnot $H$ je omezená (zdola, shora), je-li množina $H$ omezená (zdola, shora).
| značení | typ | příklad |
| ------- | ----------------------- | --------- |
| **O** | omezená (shora i zdola) | $(-1)^n$ |
| **OS** | omezená shora | $4-n$ |
| **OZ** | omezená zdola | $(n-8)^2$ |
### Minimum, maximum, infimum a supremum
Minimem (max, inf, sup) posloupnosti $(a_n)$ s oborem hodnot $H$ je minimem (max, inf, sup) množiny $H$
## Monotonie
Řekněme, že $(a_n)$ je
| značka | typ | podmínka |
| ------ | --------------- | ------------------------------------------------------------- |
| **R** | rostoucí | $\displaystyle \forall n \in \mathbb{N} \ \ \ a_{n+1} >= a_n$ |
| **K** | klesající | $\displaystyle \forall n \in \mathbb{N} \ \ \ a_{n+1} <= a_n$ |
| **OR** | ostře rostoucí | $\displaystyle \forall n \in \mathbb{N} \ \ \ a_{n+1} > a_n$ |
| **OK** | ostře klesající | $\displaystyle \forall n \in \mathbb{N} \ \ \ a_{n+1} < a_n$ |
| **M** | monotónní | je klesající nebo rostoucí |
| **OM** | ostře monotónní | je ostře klesající nebo ostře rostoucí |
#### Zjištění monotonie
1) Tipnu a ověřím
2) Otazníčková metoda
## Limita
### Vlastní limita
Posloupnost $(a_n)$ má vlastní limitu $a \in R$, pokud
$\displaystyle \forall \epsilon \in R > 0 \ \ \ \exists n_{0} \in N \ \ \ \forall n \in N : n > n_{0} \implies |a_{n} - a| < \epsilon$
Píšeme $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = a$ nebo $a_{n} \to a$
Pozn.: $a - \epsilon < a_{n} < a + \epsilon$
- Pro jakoukoli šířku pásma existuje standardní hodnota, všechna následující $n$ mají $a_n$ uvnitř $\epsilon$-pásem
### Nevlastní limita
Posloupnost $(a_n)$ má nevlastní limitu $+\infty$, pokud
$\displaystyle \forall h > 0 \ \ \ \exists n_{0} \ \ \ \forall n \in N : n > n_{0} \implies a_{n} > h$
$\displaystyle \forall d < 0 \ \ \ \exists n_{0} \ \ \ \forall n \in N : n > n_{0} \implies a_{n} < d$
Píšeme
$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = +\infty$ nebo $a_{n} \to +\infty$
$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = -\infty$ nebo $a_{n} \to -\infty$
### Jednoznačnost limity
Každá posloupnost má nejvýše 1 limitu
### Algebra vlastních limit
Nechť $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = a$ a $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } b_{n} = b$, pak
1) $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } (\alpha \times a_{n} + \beta \times b_{n}) = \alpha \times a + \beta \times b$, pokud je pravá strana definována,
2) $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } (a_{n} \times b_{n}) = a \times b$, pokud je pravá strana definována,
3) $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } (\frac{a_{n}}{b_{n}}) = \frac{a}{b}$, pokud $b_{n} \neq 0$ pro všechna $n \in N$ a pokud je pravá strana definována
### Eulerovo číslo
- je definováno jako $\displaystyle e := \lim_{ n \to \infty } \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n$ = |"NV $1^\infty$"|
- alternativní definice: $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}$
## Konvergence a divergence
Řekněme, že $(a_n)$ je
| značka | typ | podmínka |
| ------ | ----------------------- | -------------------------------- |
| **K** | konvergentní | má-li vlastní / konečnou limitu |
| **D** | divergentní | není-li konvergentní |
| | divergentní k $+\infty$ | má-li nevlastní limitu $+\infty$ |
| | divergentní k $-\infty$ | má-li nevlastní limitu $-\infty$ |
### Omezenost a limity
1) Je-li posloupnost konvergentní (**K**), pak je i omezená (**O**)
2) Diverguje-li posloupnost k $+\infty$, pak je omezená pouze zdola (**OZ**)
3) Diverguje-li posloupnost k $-\infty$, pak je omezená pouze shora (**OS**)
Dále také
1) Je-li $(a_n)$ monotónní (**M**) a omezená (**O**), pak je i konvergentní (**K**)
2) Je-li $(a_n)$ rostoucí (**R**) a omezená (**O**), pak $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = sup \ a_{n}$ a $min \ a_{n} = a_{1}$
3) Je-li $(a_n)$ klesající (**K**) a omezená (**O**), pak $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = inf \ a_{n}$ a $max \ a_{n} = a_{1}$

5
KMA M1/2. Limita.md Normal file
View file

@ -0,0 +1,5 @@
# Limita
### Vlastní
todo

84
KMA M1/3. Funkce.md Normal file
View file

@ -0,0 +1,84 @@
# Funkce
- definována
- **funkčním předpisem** ($f(x) = x^2$)
- **definičním oborem** ($D_{f} = \mathbb{R}$)
### Definiční obor $D_{f}$
- všechny hodnoty, kterých může funkce nabývat **na ose X**
- je možné jím **funkci omezit** (např.: $D_{f} = (0, 1)$)
- zjišťuje se **hledáním** definičních oborů **jiných funkcí nebo operací** (např.: $\sqrt{ -2 }$ nebo $\frac{1}{0}$)
### Obor hodnot $H_{f}$
- všechny hodnoty, kterých může funkce nabývat **na ose Y**
### Monotonie funkce
| značka | typ | podmínka |
| ------ | --------------- | ------------------------------------------------------------------------- |
| **R** | rostoucí | $\displaystyle \forall x,y \in D_{f} : x < y \implies f(x) \leq f(y)$ |
| **K** | klesající | $\displaystyle \forall x,y \in D_{f} : x < y \implies f(x) \geq f(y)$ |
| **OR** | ostře rostoucí | $\displaystyle \forall x,y \in D_{f} : x < y \implies f(x) \lt f(y)$ |
| **OK** | ostře klesající | $\displaystyle \forall x,y \in D_{f} : x < y \implies f(x) \gt f(y)$ |
| **M** | monotónní | je klesající nebo rostoucí |
| **OM** | ostře monotónní | je ostře klesající nebo ostře rostoucí |
### Symetrie
- **Sudá**
- symetrická podle osy Y
- $\forall x\in D_{f} :$
- $-x \in D_{f}$
- $f(x) = f(-x)$
- **Lichá**
- symetrická podle bodu [0, 0]
- $\forall x\in D_{f} :$
- $-x \in D_{f}$
- $f(-x) = -f(x)$
### Omezenost
| značka | typ | podmínka |
| ------ | ------------- | ------------------------------------------------------------------ |
| **OZ** | omezená zdola | $\exists d \in \mathbb{R} : \forall x \in D_{f} \ \ \ f(x) \geq d$ |
| **OS** | omezená shora | $\exists h \in \mathbb{R} : \forall x \in D_{f} \ \ \ f(x) \leq h$ |
| **O** | omezená | pokud je **OZ** i **OS** |
### Prostá funkce
- žádná hodnota se v oboru hodnot neopakuje
- $\forall x_{1}, x_{2} \in D_{f} : x_{1} \neq x_{2} \implies f(x_{1}) \neq f(x_{2})$
### Periodicita
- periodická funkce s periodou $T > 0$
- $\forall x \in D_{f} :$
- $x \pm T \in D_{f}$
- $f(x \pm T) = f(x)$
### Konvexní / konkávní
- konvexní: šťastný smajlík
- konkávní: smutný smajlík
### Inverzní funkce
- funkce, která přiřazuje prvky „opačně“ než funkce původní
- existuje pouze u funkcí **prostých**
- $f(x)=y \leftrightarrow f^{-1}(y)=x$
### Skládání funkcí
- zapisuje se: $f \circ g$
- funkce se skládají do sebe
- druhá bude vložena do první $f(g(x))$
### Průběh funkce
Hrubé schéma
1. $D_f$ + limity v krajních bodech
2. spojitost na $D_f$, body nespojitosti
3. symetrie (sudá / lichá)
4. periodicita
5. znaménko $f(x)$ + průsečíky s osou $x$
6. znaménko $f'(x)$ + monotonie + extrémy
7. znaménko $f''(x)$ + konvexita/konkávita + inflexe
8. asymptoty v krajních bodech $D_f$
9. $H_f$

38
KMA M1/4. Derivace funkce.md Normal file
View file

@ -0,0 +1,38 @@
# Derivace funkce
- rychlost růstu či klesání funkce
### Tabulka derivací
| funkce | derivace |
| ------------------- | --------------------------- |
| $x^a$ | $ax^{a-1}$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $a^x$ | $a^x \ln a$ |
| $\ln x$ | $\frac{1}{x}$ |
| $\log_{a} x$ | $\frac{1}{x \ln a}$ |
| $\sin x$ | $\cos x$ |
| $\cos x$ | $-\sin x$ |
| $\mbox{tg } x$ | $\frac{1}{\cos^2 x}$ |
| $\mbox{cotg } x$ | $-\frac{1}{\sin^2 x}$ |
| $\arcsin x$ | $\frac{1}{\sqrt{ 1-x^2 }}$ |
| $\arccos x$ | $-\frac{1}{\sqrt{ 1-x^2 }}$ |
| $\mbox{arctg } x$ | $\frac{1}{1+x^2}$ |
| $\mbox{arccotg } x$ | $-\frac{1}{1+x^2}$ |
| $\sinh x$ | $\cosh x$ |
| $\cosh x$ | $\sinh x$ |
| $\mbox{tgh } x$ | $\frac{1}{\cosh^2 x}$ |
| $\mbox{cotgh } x$ | $\frac{1}{\sinh^2 x}$ |
### Tečna a normála
- zjištění tečny a normály v bodě funkce ($x_{0}$)
1. najdeme tečný bod $T[x_{0}, y_{0}]$
- $y_{0} = f(x_{0})$
2. zderivujeme $f(x)$ a dosadíme do derivace $x_{0}$
- $f'(x)$
- $f'(x_{0})$
3. zjistíme tečnu
- $t: y-y_{0} = f'(x_{0})(x-x_{0})$
4. zjistíme normálu
- $n: y-y_{0} = -\frac{1}{f'(x_{0})}(x-x_{0})$