FAV-ZCU/KMA M1/3. Funkce.md

Funkce

• definována
  • funkčním předpisem ($f(x) = x^2$)
  • definičním oborem ($D_{f} = \mathbb{R}$)

Definiční obor D_{f}

• všechny hodnoty, kterých může funkce nabývat na ose X
• je možné jím funkci omezit (např.: $D_{f} = (0, 1)$)
• zjišťuje se hledáním definičních oborů jiných funkcí nebo operací (např.: \sqrt{ -2 } nebo $\frac{1}{0}$)

Obor hodnot H_{f}

• všechny hodnoty, kterých může funkce nabývat na ose Y

Monotonie funkce

značka	typ	podmínka
R	rostoucí	\displaystyle \forall x,y \in D_{f} : x < y \implies f(x) \leq f(y)
K	klesající	\displaystyle \forall x,y \in D_{f} : x < y \implies f(x) \geq f(y)
OR	ostře rostoucí	\displaystyle \forall x,y \in D_{f} : x < y \implies f(x) \lt f(y)
OK	ostře klesající	\displaystyle \forall x,y \in D_{f} : x < y \implies f(x) \gt f(y)
M	monotónní	je klesající nebo rostoucí
OM	ostře monotónní	je ostře klesající nebo ostře rostoucí

Symetrie

• Sudá
  • symetrická podle osy Y
  • \forall x\in D_{f} :
    • -x \in D_{f}
    • f(x) = f(-x)
• Lichá
  • symetrická podle bodu [0, 0]
  • \forall x\in D_{f} :
    • -x \in D_{f}
    • f(-x) = -f(x)

Omezenost

značka	typ	podmínka
OZ	omezená zdola	\exists d \in \mathbb{R} : \forall x \in D_{f} \ \ \ f(x) \geq d
OS	omezená shora	\exists h \in \mathbb{R} : \forall x \in D_{f} \ \ \ f(x) \leq h
O	omezená	pokud je OZ i OS

Prostá funkce

• žádná hodnota se v oboru hodnot neopakuje
• \forall x_{1}, x_{2} \in D_{f} : x_{1} \neq x_{2} \implies f(x_{1}) \neq f(x_{2})

Periodicita

• periodická funkce s periodou T > 0
• \forall x \in D_{f} :
  • x \pm T \in D_{f}
  • f(x \pm T) = f(x)

Konvexní / konkávní

• konvexní: šťastný smajlík
• konkávní: smutný smajlík

Inverzní funkce

• funkce, která přiřazuje prvky „opačně“ než funkce původní
• existuje pouze u funkcí prostých
• f(x)=y \leftrightarrow f^{-1}(y)=x

Skládání funkcí

• zapisuje se: f \circ g
• funkce se skládají do sebe
  • druhá bude vložena do první f(g(x))

Průběh funkce

Hrubé schéma

1. D_f + limity v krajních bodech
2. spojitost na D_f, body nespojitosti
3. symetrie (sudá / lichá)
4. periodicita
5. znaménko f(x) + průsečíky s osou x
6. znaménko f'(x) + monotonie + extrémy
7. znaménko f''(x) + konvexita/konkávita + inflexe
8. asymptoty v krajních bodech D_f
9. H_f