84 lines
3 KiB
Markdown
84 lines
3 KiB
Markdown
|
# Funkce
|
||
|
|
|
||
|
|
- definována
|
||
|
|
- **funkčním předpisem** ($f(x) = x^2$)
|
||
|
|
- **definičním oborem** ($D_{f} = \mathbb{R}$)
|
||
|
|
|
||
|
|
### Definiční obor $D_{f}$
|
||
|
|
- všechny hodnoty, kterých může funkce nabývat **na ose X**
|
||
|
|
- je možné jím **funkci omezit** (např.: $D_{f} = (0, 1)$)
|
||
|
|
- zjišťuje se **hledáním** definičních oborů **jiných funkcí nebo operací** (např.: $\sqrt{ -2 }$ nebo $\frac{1}{0}$)
|
||
|
|
|
||
|
|
### Obor hodnot $H_{f}$
|
||
|
|
- všechny hodnoty, kterých může funkce nabývat **na ose Y**
|
||
|
|
|
||
|
|
### Monotonie funkce
|
||
|
|
| značka | typ | podmínka |
|
||
|
|
| ------ | --------------- | ------------------------------------------------------------------------- |
|
||
|
|
| **R** | rostoucí | $\displaystyle \forall x,y \in D_{f} : x < y \implies f(x) \leq f(y)$ |
|
||
|
|
| **K** | klesající | $\displaystyle \forall x,y \in D_{f} : x < y \implies f(x) \geq f(y)$ |
|
||
|
|
| **OR** | ostře rostoucí | $\displaystyle \forall x,y \in D_{f} : x < y \implies f(x) \lt f(y)$ |
|
||
|
|
| **OK** | ostře klesající | $\displaystyle \forall x,y \in D_{f} : x < y \implies f(x) \gt f(y)$ |
|
||
|
|
| **M** | monotónní | je klesající nebo rostoucí |
|
||
|
|
| **OM** | ostře monotónní | je ostře klesající nebo ostře rostoucí |
|
||
|
|
|
||
|
|
### Symetrie
|
||
|
|
- **Sudá**
|
||
|
|
- symetrická podle osy Y
|
||
|
|
- $\forall x\in D_{f} :$
|
||
|
|
- $-x \in D_{f}$
|
||
|
|
- $f(x) = f(-x)$
|
||
|
|
- **Lichá**
|
||
|
|
- symetrická podle bodu [0, 0]
|
||
|
|
- $\forall x\in D_{f} :$
|
||
|
|
- $-x \in D_{f}$
|
||
|
|
- $f(-x) = -f(x)$
|
||
|
|
|
||
|
|
### Omezenost
|
||
|
|
| značka | typ | podmínka |
|
||
|
|
| ------ | ------------- | ------------------------------------------------------------------ |
|
||
|
|
| **OZ** | omezená zdola | $\exists d \in \mathbb{R} : \forall x \in D_{f} \ \ \ f(x) \geq d$ |
|
||
|
|
| **OS** | omezená shora | $\exists h \in \mathbb{R} : \forall x \in D_{f} \ \ \ f(x) \leq h$ |
|
||
|
|
| **O** | omezená | pokud je **OZ** i **OS** |
|
||
|
|
|
||
|
|
### Prostá funkce
|
||
|
|
|
||
|
|
- žádná hodnota se v oboru hodnot neopakuje
|
||
|
|
- $\forall x_{1}, x_{2} \in D_{f} : x_{1} \neq x_{2} \implies f(x_{1}) \neq f(x_{2})$
|
||
|
|
|
||
|
|
### Periodicita
|
||
|
|
|
||
|
|
- periodická funkce s periodou $T > 0$
|
||
|
|
- $\forall x \in D_{f} :$
|
||
|
|
- $x \pm T \in D_{f}$
|
||
|
|
- $f(x \pm T) = f(x)$
|
||
|
|
|
||
|
|
### Konvexní / konkávní
|
||
|
|
|
||
|
|
- konvexní: šťastný smajlík
|
||
|
|
- konkávní: smutný smajlík
|
||
|
|
|
||
|
|
### Inverzní funkce
|
||
|
|
|
||
|
|
- funkce, která přiřazuje prvky „opačně“ než funkce původní
|
||
|
|
- existuje pouze u funkcí **prostých**
|
||
|
|
- $f(x)=y \leftrightarrow f^{-1}(y)=x$
|
||
|
|
|
||
|
|
### Skládání funkcí
|
||
|
|
- zapisuje se: $f \circ g$
|
||
|
|
- funkce se skládají do sebe
|
||
|
|
- druhá bude vložena do první $f(g(x))$
|
||
|
|
|
||
|
|
### Průběh funkce
|
||
|
|
|
||
|
|
Hrubé schéma
|
||
|
|
|
||
|
|
1. $D_f$ + limity v krajních bodech
|
||
|
|
2. spojitost na $D_f$, body nespojitosti
|
||
|
|
3. symetrie (sudá / lichá)
|
||
|
|
4. periodicita
|
||
|
|
5. znaménko $f(x)$ + průsečíky s osou $x$
|
||
|
|
6. znaménko $f'(x)$ + monotonie + extrémy
|
||
|
|
7. znaménko $f''(x)$ + konvexita/konkávita + inflexe
|
||
|
|
8. asymptoty v krajních bodech $D_f$
|
||
|
|
9. $H_f$
|