FAV-ZCU/KMA LAA/3. Lineární vektorové prostory.md

Lineární vektorové prostory

Příklady:

zápis	typ
R^2, R^3	geometrické vektory o 2, resp. 3 složkách
R^n	n-tice reálných čísel (aritmetické vektory)
M_{m,n}	všechny matice typu m/n (nad R, nad $C$)
P_n	všechny polynomy stupně nejvýše n
C(a,b)	všechny funkce spojité na <a, b>

Vektorový prostor V nad tělesem K:

• sčítání: V + V \to V
• násobení: K \times V \to V

typ	pro všechna	platí
S	\forall \vec{u}, \vec{v} \in V	\vec{u} + \vec{v} = \vec{w}
S	\forall \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \in V	\vec{u} + (\vec{v} + \vec{w}) = (\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w}
S	\exists \vec{o} \in V : \forall \vec{u} \in V	\vec{u} + \vec{o} = \vec{u}
S	\forall \vec{u} \in V \ \ \exists \vec{v} \in V	\vec{u} + \vec{v} = \vec{o}
N	\forall \vec{u} \in V, \forall a, b \in K	a \times (b \times \vec{u}) = (a \times b) \times \vec{u}
N	\forall \vec{u} \in V	1 \times \vec{u} = \vec{u}
D	\forall \vec{u} \in V, \forall a, b \in K	(a + b) \times \vec{u} = a\vec{u} + b\vec{u}
D	\forall \vec{u}, \vec{v} \in V, \forall a \in K	a \times (\vec{u} + \vec{v}) = a\vec{u} + a\vec{v}

Mějme vektorový prostor V nad tělesem K. Množina U \subseteq V je podprostorem V, pokud platí:

1. \forall \vec{u}, \vec{v} \in U : \vec{u} + \vec{v} \in U
2. \forall \vec{u} \in U, \forall a \in K : a \times \vec{u} \in U
   • vyplývá, že v U bude nulový vektor

Každý podprostor vektorového prostoru je také vektorovým prostorem.

Lineární obal

• všechny lineární kombinace zadaných vektorů
• <\vec{u}; \vec{v}>

Operace s podprostory

• Sjednocení u_{1} \cup u_{2}
  • Musí platit:
    • u_{1} \subseteq u_{2}
    • u_{2} \subseteq u_{1}