45 lines
2.4 KiB
Markdown
45 lines
2.4 KiB
Markdown
|
# Lineární vektorové prostory
|
||
|
|
|
||
|
|
Příklady:
|
||
|
|
|
||
|
|
| zápis | typ |
|
||
|
|
| ---------- | ------------------------------------------- |
|
||
|
|
| $R^2, R^3$ | geometrické vektory o 2, resp. 3 složkách |
|
||
|
|
| $R^n$ | n-tice reálných čísel (aritmetické vektory) |
|
||
|
|
| $M_{m,n}$ | všechny matice typu m/n (nad $R$, nad $C$) |
|
||
|
|
| $P_n$ | všechny polynomy stupně nejvýše n |
|
||
|
|
| $C(a,b)$ | všechny funkce spojité na $<a, b>$ |
|
||
|
|
|
||
|
|
Vektorový prostor V nad tělesem K:
|
||
|
|
- sčítání: $V + V \to V$
|
||
|
|
- násobení: $K \times V \to V$
|
||
|
|
|
||
|
|
| typ | pro všechna | platí |
|
||
|
|
| --- | ------------------------------------------------- | --------------------------------------------------------------- |
|
||
|
|
| S | $\forall \vec{u}, \vec{v} \in V$ | $\vec{u} + \vec{v} = \vec{w}$ |
|
||
|
|
| S | $\forall \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \in V$ | $\vec{u} + (\vec{v} + \vec{w}) = (\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w}$ |
|
||
|
|
| S | $\exists \vec{o} \in V : \forall \vec{u} \in V$ | $\vec{u} + \vec{o} = \vec{u}$ |
|
||
|
|
| S | $\forall \vec{u} \in V \ \ \exists \vec{v} \in V$ | $\vec{u} + \vec{v} = \vec{o}$ |
|
||
|
|
| N | $\forall \vec{u} \in V, \forall a, b \in K$ | $a \times (b \times \vec{u}) = (a \times b) \times \vec{u}$ |
|
||
|
|
| N | $\forall \vec{u} \in V$ | $1 \times \vec{u} = \vec{u}$ |
|
||
|
|
| D | $\forall \vec{u} \in V, \forall a, b \in K$ | $(a + b) \times \vec{u} = a\vec{u} + b\vec{u}$ |
|
||
|
|
| D | $\forall \vec{u}, \vec{v} \in V, \forall a \in K$ | $a \times (\vec{u} + \vec{v}) = a\vec{u} + a\vec{v}$ |
|
||
|
|
|
||
|
|
Mějme vektorový prostor V nad tělesem K. Množina $U \subseteq V$ je podprostorem V, pokud platí:
|
||
|
|
1) $\forall \vec{u}, \vec{v} \in U : \vec{u} + \vec{v} \in U$
|
||
|
|
2) $\forall \vec{u} \in U, \forall a \in K : a \times \vec{u} \in U$
|
||
|
|
- vyplývá, že v $U$ bude nulový vektor
|
||
|
|
|
||
|
|
Každý podprostor vektorového prostoru je také vektorovým prostorem.
|
||
|
|
|
||
|
|
### Lineární obal
|
||
|
|
|
||
|
|
- všechny lineární kombinace zadaných vektorů
|
||
|
|
- $<\vec{u}; \vec{v}>$
|
||
|
|
|
||
|
|
### Operace s podprostory
|
||
|
|
|
||
|
|
- Sjednocení $u_{1} \cup u_{2}$
|
||
|
|
- Musí platit:
|
||
|
|
- $u_{1} \subseteq u_{2}$
|
||
|
|
- $u_{2} \subseteq u_{1}$
|