Úpravy poznámek k determinantům v LAA

KMA LAA/4. Determinant matice.md

@@ -66,14 +66,16 @@ J_{2} & \mathbf{2} & 4 & 3 & \mathbf{1} & 5
 \end{matrix}
 $$
 
+### Znaménko permutace $\pi$
+
 Permutace je **sudá nebo lichá** podle sudého nebo lichého počtu transpozic.
-- **Znaménko permutace** $\pi$ je pak číslo
-  
-	$$
-    zn(\pi) = \begin{cases}1, \text{je-li } \pi \text{ sudá} \\ -1, \text{je-li } \pi \text{ lichá}\end{cases}
-	$$
-- Znaménko permutace vzniklé složením dvou permutací se rovná součinu znamének každé permutace.
-	- $zn(\pi_1 \circ \pi_{2}) = zn(\pi_{1}) \cdot zn(\pi_{2})$
+
+$$
+zn(\pi) = \begin{cases}1, \text{je-li } \pi \text{ sudá} \\ -1, \text{je-li } \pi \text{ lichá}\end{cases}
+$$
+
+Znaménko permutace vzniklé složením dvou permutací se rovná součinu znamének každé permutace.
+- $zn(\pi_1 \circ \pi_{2}) = zn(\pi_{1}) \cdot zn(\pi_{2})$
 
 ## Determinant
 
@@ -85,23 +87,29 @@ kde sčítáme přes všechny permutace na množině $\{1, 2, \dots, n\}$.
 
 - determinant je suma všech permutací vzniklých z diagonálního řádku matice, kde sudá permutace je s kladným znaménkem a lichá se záporným
 - v součinu prvků v definici determinantu je z každého řádku a z každého sloupce vybrán právě jeden prvek
-- $det(A) = det(A^{T})$
+- $\det(A) = \det(A^{T})$
 
 ### Algebraický doplněk matice
 
 Subdeterminant (minor) vzniklý z matice vynecháním $i$-tého řádku a $j$-tého sloupce.
 - $(-1)^{i+j} \det A[\cancel{i/j}]$
 
-### Rozvoj podle i-tého řádku
+Symbolem $A[\cancel{i/j}]$ značíme matice A s vynechaným $i$-tým řádkem a $j$-tým sloupcem. 
 
-- A je čtvercová matice řádu $n$
-- $i \in {\{ 1, 2, ..., n  \}}$
-- $det(A) = a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2} + ... + a_{in}A_{in} = \sum_{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij}$
-- elementární úpravy:
-	- prohození dvou řádků matice
-	- vynásobení (vydělení) řádku matice nenulovým číslem
-	- přičtení $k$-násobku $i$-tého řádku k $j$-tému
-- pro determinanty můžeme využívat analogicky i sloupcové elementární úpravy
+### Rozvoj podle i-tého řádku (sloupce)
+
+Nechť A je čtvercová matice řádu $n$ a $i \in {\{ 1, 2, \dots, n  \}}$.
+
+$\displaystyle \det(A) = a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2} + \dots + a_{in}A_{in} = \sum_{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij}$
+
+**Elementární úpravy**:
+- prohození dvou řádků matice
+- vynásobení (vydělení) řádku matice nenulovým číslem
+- přičtení $k$-násobku $i$-tého řádku k $j$-tému
+
+Pro determinanty můžeme využívat analogicky i sloupcové elementární úpravy, protože $\det(A) = \det(A^T)$.
+
+Rozvojem se řeší všechny determinanty řádu $\geq 4$.
 
 ### Vlastnosti determinantu
 
@@ -109,8 +117,8 @@ Subdeterminant (minor) vzniklý z matice vynecháním $i$-tého řádku a $j$-t
 2. Výměna řádků otočí znaménko
 3. Vynásobení řádku číslem $a$ znamená $a \cdot \det \dots$
 4.  $\displaystyle\begin{bmatrix}a+a' & b+b' \\ c & d\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a & b \\ c & d\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}a' & b' \\ c & d\end{bmatrix}$
-5. Dva stejné řádky $\implies \det A = 0$
-6. Řádek samých nul $\implies \det A = 0$
+5. Dva stejné řádky/sloupce $\implies \det A = 0$
+6. Řádek/sloupec samých nul $\implies \det A = 0$
 7. Přičtení $a$-násobku jiného řádku $\implies \det A$ je stejný
 8. Trojúhelníková matice $\implies \det A$ je součin prvků na diagonále
 9. Singulární matice $\implies \det A = 0$ (nesingulární $\implies \det A \neq 0$)
@@ -120,8 +128,7 @@ Subdeterminant (minor) vzniklý z matice vynecháním $i$-tého řádku a $j$-t
 ### Věty
 
 Nechť matice B vznikne z matice A prohozením dvou řádků (sloupců). Potom $\det(B) = -\det(A)$.
-- **DK**: Prohozením dvou řádků (sloupců) se změní počet transpozic v každé permutaci o 1, tedy znaménka se změní v opačná.
-- z definice determinantu pak plyne, že determinant vyjde opačný k $det(A)$
+- **DK**: Prohozením dvou řádků (sloupců) se změní počet transpozic v každé permutaci o 1, tedy znaménka se změní v opačná. Z definice determinantu pak plyne, že determinant vyjde opačný k $\det(A)$.
 
 Má-li matice A **dva stejné řádky** nebo **sloupce**, potom $\det(A) = 0$.
 - **DK**: Matice B vznikne z matice A prohozením dvou stejných řádků (sloupců).