Přidání poznámek k metodám řešení neurč. integrálů v M1

KMA M1/7. Neurčité integrály.md

@@ -20,18 +20,45 @@ $$
 
 Je-li funkce $f$ **spojitá** na intervalu $(a; b)$, potom je na tomto intervalu **integrovatelná**.
 
-**Linearita neurčitého integrálu** - Mějme funkce $f, g$, které jsou integrovatelné na intervalu $(a;b)$. Potom na intervalu $(a;b)$ platí
+### Linearita neurčitého integrálu
+
+Mějme funkce $f, g$, které jsou integrovatelné na intervalu $(a;b)$. Potom na intervalu $(a;b)$ platí
 1) $\displaystyle\int (f(x)+g(x)) \, dx = \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx$,
 2) $\displaystyle\int cf(x) \, dx = c \int f(x) \, dx, \quad c\in \mathbb{R} \setminus \{ 0 \}$.
 
+### Per-partes
+
+Mějme funkce $u, v$, které mají konečné derivace ve všech bodech intervalu $(a;b)$. Potom na intervalu $(a;b)$ platí
+- $\displaystyle\int u(x)v'(x) \, dx = u(x)v(x) - \int u'(x)v(x) \, dx$,
+
+pokud integrál na pravé straně existuje.
+
+### 1. substituční metoda
+
+Mějme funkci $f$, která je spojitá na intervalu $(c;d)$. Dále mějme funkci $g: y = g(x)$ s definičním oborem $D(g) = (a;b)$ a oborem hodnot $H(g) = (c;d)$, která má konečnou a nenulovou derivaci ve všech bodech $x \in D(g)$. Potom na intervalu $(c;d)$ platí
+$$
+\displaystyle\int f(y) \, dy = \int f(g(x))g'(x) \, dx  
+$$
+
+dosadíme-li napravo $x = g^{-1}(y)$.
+
+### 2. substituční metoda
+
+Mějme funkci $f$, která je spojitá na intervalu $(c;d)$. Dále mějme funkci $g: y = g(x)$ s definičním oborem $D(g) = (a;b)$ a oborem hodnot $H(g) = (c;d)$, která má konečnou a nenulovou derivaci ve všech bodech $x \in D(g)$. Potom na intervalu $(c;d)$ platí
+$$
+\displaystyle\int f(y) \, dy = \int f(g(x))g'(x) \, dx 
+$$
+
+dosadíme-li napravo $x = g^{-1}(y)$.
+
 ## Integrační vzorce
 
 | funkce                                   | integrace                             |
 | ---------------------------------------- | ------------------------------------- |
 | $0$                                      | $C$                                   |
 | $1$                                      | $x + C$                               |
-| $x^n$                                    | $\displaystyle\frac{x^{n+1}}{n+1}$    |
-| $\frac{dx}{x}$                           | $\ln \vert x\vert + C$                |
+| $x^n$                                    | $\displaystyle\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$    |
+| $\displaystyle\frac{dx}{x}$                           | $\ln \vert x\vert + C$                |
 | $e^x$                                    | $e^x + C$                             |
 | $a^x$                                    | $\displaystyle\frac{a^x}{\ln(a)} + C$ |
 | $\sin(x)$                                | $-\cos(x) + C$                        |