Přidání poznámek k funkcím a oprava překlepu v M1

KMA M1/3. Nekonečné řady.md

@@ -74,7 +74,7 @@ Mějme dánu řadu $\sum a_{n}$ s **nezápornými** členy a čadu $\sum b_{n}$
 1) Řada $\sum a_{n}$ konverguje právě tehdy, když řada $\sum b_{n}$ konverguje.
 2) Řada $\sum a_{n}$ diverguje právě tehdy, když řada $\sum b_{n}$ konverguje.
 
-#### d’Alembertovo krit ́erium
+#### d’Alembertovo kritérium
 
 Mějme dánu řadu $\sum a_{n}$ s **kladnými** členy.
 1) Jestliže existuje $q \in (0, 1)$ takové, že $\displaystyle\quad\forall \, n \in \mathbb{N} : \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \leq q \leq 1, \quad$ potom řada $\sum a_{n}$ konverguje.

KMA M1/4. Funkce.md

@@ -1,8 +1,24 @@
 # Funkce
 
-- definována
-	- **funkčním předpisem** ($f(x) = x^2$)
-	- **definičním oborem** ($D_{f} = \mathbb{R}$)
+Reálná funkce jedné reálné proměnné je zobrazení $f$ s definičním oborem $D \subset \mathbb{R}$ a oborem hodnot $H \subset \mathbb{R}$.
+- Každému argumentu $x \in D$ je přiřazena právě jedna funkční hodnota $y = f(x) \in \mathbb{R}$.
+
+Každá funkce je definována zároveň
+	- **funkčním předpisem** ($f(x) = x^2$),
+	- **definičním oborem** ($D_{f} = \mathbb{R}$).
+
+Mějme dvě funkce $f$ a $g$.
+1) Funkce $f$ a $g$ jsou si **rovny**, pokud $D(f) = D(g)$ a pro každé $x \in D(f)$ platí $f(x) = g(x)$.
+2) Funkce $f$ je **zúžením (restrikcí)** funkce $g$, pokud $D(f) \subset D(g)$ a pro každé $x \in D(f)$ platí $f(x) = g(x)$.
+
+Mějme dány dvě funkce $f, g$ se stejným definičním oborem $D$.
+
+| typ               | zápis                      | definice                                       |
+| ----------------- | -------------------------- | ---------------------------------------------- |
+| **součet funkcí** | $f+g$                      | $y = f(x) + g(x), x \in D$                     |
+| **rozdíl funkcí** | $f-g$                      | $y = f(x) - g(x), x \in D$                     |
+| **součin funkcí** | $f \cdot g$                | $y = f(x) \cdot g(x), x \in D$                 |
+| **podíl funkcí**  | $\displaystyle\frac{f}{g}$ | $\displaystyle y = \frac{f(x)}{g(x)}, x \in D$ |
 
 ### Definiční obor $D_{f}$
 
@@ -25,13 +41,15 @@
 | **M**  | monotónní       | je klesající nebo rostoucí                                                |
 | **OM** | ostře monotónní | je ostře klesající nebo ostře rostoucí                                    |
 
+Je-li funkce $f$ **ostře monotónní**, potom je **prostá**.
+
 ### Symetrie
 
 - **Sudá**
 	- symetrická podle osy Y
 	- $\forall x\in D_{f} :$
 		- $-x \in D_{f}$
-		- $f(x) = f(-x)$
+		- $f(-x) = f(x)$
 - **Lichá**
 	- symetrická podle bodu $[0, 0]$
 	- $\forall x\in D_{f} :$
@@ -48,14 +66,14 @@
 
 ### Prostá funkce
 
-- žádná hodnota se v oboru hodnot neopakuje
+Funkce $f$, v jejíž oboru hodnot $H(f)$ se žádná hodnota neopakuje.
 - $\forall x_{1}, x_{2} \in D_{f} : x_{1} \neq x_{2} \implies f(x_{1}) \neq f(x_{2})$
 
 ### Periodicita
 
-- periodická funkce s periodou $T > 0$
+Funkce je periodická, jestliže existuje $T > 0$ takové, že platí:
 - $\forall x \in D_{f} :$
-	- $x \pm T \in D_{f}$
+	- $(x \pm T) \in D_{f}$
 	- $f(x \pm T) = f(x)$
 
 ### Konvexní / konkávní
@@ -63,12 +81,28 @@
 - konvexní: šťastný smajlík
 - konkávní: smutný smajlík
 
+### Rovnice o jedné neznámé
+
+Mějme dánu funkci $f$ a reálné číslo $b$.
+- Úloha najít $x_{0} \in D(f)$ takové, že $f(x_{0}) = b$, se nazývá **rovnice o jedné neznámé** a zapisuje se $f(x) = b$.
+- Číslo $x_{0}$ je **řesení** (či **kořen**) rovnice.
+
+Mějme dánu rovnici $f(x) = b$.
+
+| podmínka                     | řešení                        |
+| ---------------------------- | ----------------------------- |
+| $b \in H(f)$                 | $\geq 1 \quad$ alespoň jedno řešení |
+| $f$ je prostá                | $\leq 1 \quad$ nejvýše jedno řešení |
+| $b \in H(f)$ a $f$ je prostá | $= 1 \quad$ právě jedno řešení      |
+
 ### Inverzní funkce
 
-Funkce, která přiřazuje prvky „opačně“ než funkce původní.
+Funkce, která přiřazuje prvky „opačně“ než původní funkce.
 - existuje pouze u funkcí **prostých**
 - $f(x)=y \leftrightarrow f^{-1}(y)=x$
 
+Je-li funkce **ostře monotónní**, potom existuje inverzní funkce.
+
 Vypočítáme tak, že funkci přepíšeme do rovnice ($y = 2x$) a osamostatníme x ($\frac{y}{2} = x$).
 
 | funkce               | podmínka                                              | inverzní funkce      |
@@ -88,12 +122,11 @@ Vypočítáme tak, že funkci přepíšeme do rovnice ($y = 2x$) a osamostatním
 | $\text{cotan}(x)$    | $x \in (0, \pi)$                                      | $\text{arccotan}(x)$ |
 | $\text{arccotan}(x)$ |                                                       | $\text{cotan}(x)$    |
 
-
 ### Skládání funkcí
 
-- zapisuje se: $f \circ g$
-- funkce se skládají do sebe
-	- druhá bude vložena do první $f(g(x))$
+Dvě funkce, které se skládají do sebe.
+- zapisuje se $f \circ g$
+- druhá bude vložena do první: $f(g(x))$
 
 ### Průběh funkce