Úpravy příkladů 1, 8, 9 a 11 z FYI

KFY FYI1/Priklad01.md

@@ -59,7 +59,7 @@ $\displaystyle a_{t} = \frac{5^2 - 15^2}{2 \cdot 800} \text{ m}\cdot\text{s}^{-2
 
 ### Výsledek
 
-$\displaystyle T = \frac{800}{5 + 15}\cdot 2s = \frac{1600}{20}s = 80s$
+$\displaystyle T = \frac{800}{5 + 15}\cdot 2\text{ s} = \frac{1600}{20}\text{ s} = 80\text{ s}$
 
 $\displaystyle a_{0} = \sqrt{ (-0.125)^2 + \left(\frac{15^2}{800}\right)^2 } \text{ m}\cdot\text{s}^{-2} = 0.308 \text{ m}\cdot\text{s}^{-2}$
 

KFY FYI1/Priklad08.md

@@ -17,7 +17,7 @@ zákon zachování mechanické energie
 - $W_{kin} + W_{pot} = \text{konst.}$
 
 zákon zachování hybnosti
-- $\vec p = \text{konst.}$
+- $\vec p = \text{konst.}$ (hybnost)
 - v tomto případě
 	- $\vec{p}_\text{střela} = \vec{p}_\text{střela + kyvadlo}$
 	- $m \cdot v_{0} = (m+M) \cdot v_{1}$
@@ -30,7 +30,7 @@ z obrázku platí
 - $\displaystyle \frac{2lh}{d^2} = \frac{h^2}{d^2} + 1$
 - pro velká l platí, že
 	- $h \ll d \implies \text{zanedbáme} \, \frac{h^2}{d^2}$
-- $h  = \frac{d^2}{2l}$
+- $\displaystyle h = \frac{d^2}{2l}$
 
 ### Výpočet
 
@@ -46,8 +46,10 @@ využijeme vzorečku ze zákona o zachování hybnosti
 
 ### Výsledek
 
-svislá výchylka $h$ 
+rychlost střely podle svislé výchylky $h$ 
+- dosazení do vzorce pro $v_{0}$ podle zákona o zachování hybnosti
 - $\displaystyle v_{0} = \frac{m+M}{m} \cdot \sqrt{ 2gh }$
 
-vodorovná výchylka $d$
+rychlost střely podle vodorovné výchylky $d$
+- pro zjištění $h$ dosadíme vzorec pro jeho výpočet z $d$
 - $\displaystyle v_{0} = \frac{m+M}{m} \cdot \sqrt{ \cancel{2} \cdot g \cdot \frac{d^2}{\cancel{2}l} } = \frac{m+M}{m} \cdot \sqrt{ \frac{g}{l} } \cdot d$

KFY FYI1/Priklad09.md

@@ -4,52 +4,44 @@
 
 - $R$ - poloměr koule
 - $l$ - délka závěsu
-- $T_{kyvadla} = \, ?$
+- $T_{k} = \, ?$ (doba kyvu kyvadla)
 - chyba pro $R \to 0 = \, ?$
 - netlumené kmity (tření)
 - tíhové pole Země
 
 ![](_assets/priklad9.svg)
 
-- 2. impulzová věta (pohybová rovnice pro rotaci tuhého tělesa)
-	- $J \cdot \vec \epsilon = -\vec M$
-		- $\vec M = \vec I \cdot \vec G$
-		- $M = \vert \vec M \vert = \vert \vec I \vert \cdot \vert \vec G \vert \cdot \sin \varphi = l \cdot m \cdot g \cdot \sin \varphi$
-	- $J$ - moment setrvačnosti
-	- $\displaystyle \vec \epsilon = \frac{d\vec w}{dt} = \frac{d^2\vec\varphi}{dt^2}$
-- Steinerova věta
-	- $\displaystyle J \cdot \frac{d^2 \varphi}{dt^2} = -M$
-	- $J = J_{0} + m \cdot l^2 = \frac{2}{5} m R^2 + m \cdot l^2$
-		- $J_{0} = \frac{2}{5}m\cdot R$ (moment setrvačnosti koule - symetrická osa)
+II. impulzová věta pro rotaci tělesa
+- $J \cdot \epsilon = M$
+	- $\displaystyle\epsilon = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d^2\varphi}{dt^2}$
+	- $\displaystyle J = \frac{2}{5}mR^2+m\cdot l^2$ (použití Steinerovy věty)
+	- $M = - l \cdot mg\sin(\varphi)$ (moment síly)
+
 
 ### Výpočet
 
-$\displaystyle \left( \frac{2}{5} m R^2 + m \cdot l^2 \right) \cdot \frac{d^2\varphi}{dt^2} = -l\cdot m\cdot \sin \varphi$
+dosadíme do rovnice $\epsilon, J, M$ a upravíme
+- $\displaystyle\left(\frac{2}{5}mR^2 + m\cdot l^2\right) \cdot \frac{d^2\varphi}{dt^2} = -l\cdot mg\sin(\varphi)$
+- $\displaystyle\left(\frac{2}{5}\cancel{m}R^2 + \cancel{m}\cdot l^2\right) \cdot \frac{d^2\varphi}{dt^2} = -l\cdot \cancel{m}g\sin(\varphi)$
+- $\displaystyle\left(\frac{2}{5}R^2 + l^2\right) \cdot \frac{d^2\varphi}{dt^2} + l\cdot g\sin(\varphi) = 0$
+- $\displaystyle\frac{d^2\varphi}{dt^2} + \frac{l\cdot g}{\frac{2}{5}R^2 + l^2}\cdot\sin(\varphi) = 0$
+	- nahradíme $\frac{l\cdot g}{\frac{2}{5}R^2 + l^2} = \omega^2$ - úhlová rychlost
 
-$\displaystyle \left( \frac{2}{5} m R^2 + m \cdot l^2 \right) \cdot \frac{d^2\varphi}{dt^2} + l \cdot m \cdot g \cdot \sin \varphi = 0$
-
-$\displaystyle \left( \frac{2}{5} m R^2 \cdot l^2 \right) \cdot \frac{d^2\varphi}{dt^2} + l \cdot g \cdot \sin \varphi = 0$
-
-$\displaystyle\frac{d^2\varphi}{dt^2} + \frac{l \cdot g}{\frac{2}{5}R^2 + l ^2} \cdot \sin \varphi = 0$
-
-$\displaystyle\frac{d^2\varphi}{dt^2} + \frac{l \cdot g}{\frac{2}{5}R^2 + l ^2} \cdot \sin \varphi = 0$
-- pro $\varphi < 5^\circ \implies \sin \varphi \simeq \varphi$ 
-
-$\displaystyle\frac{d^2\varphi}{dt^2} + \frac{l \cdot g}{\frac{2}{5}R^2 + l ^2} \cdot \varphi = 0$
-- $\displaystyle \frac{l \cdot g}{\frac{2}{5}R^2 + l ^2} = \omega^2$ - úhlová rychlost
-
-$\displaystyle\frac{d^2\varphi}{dt^2} + \omega^2 \cdot \varphi = 0$
+pro úhly $\varphi < 5^\circ \implies \sin \varphi \sim \varphi$
+- $\displaystyle\frac{d^2\varphi}{dt^2} + \omega^2\cdot\varphi = 0$
 - lineární harmonický oscilátor
-- ... víme, že $\displaystyle\omega = \frac{2\pi}{T}$, kde $T$ je perioda (doba kmitu)
-- $\displaystyle T_{kyv} = \frac{\pi}{\omega}$
 
-$\displaystyle T_{kyv} = \frac{\pi}{\sqrt{ \frac{l \cdot g}{\frac{2}{5}R^2+l^2} }} = \pi \cdot \frac{\sqrt{ l \cdot \left[ \frac{2}{5}\left( \frac{R}{l} \right)^2+1 \right] }}{l \cdot g} = \pi \cdot \sqrt{ \frac{l}{g} } \cdot \sqrt{ \frac{2}{5} \left( \frac{R}{l}^2 + 1 \right) }$
+**Doba kyvu kyvadla**
+- využijeme vzoreček pro úhlovou rychlost $\omega^2$ uvedený výše
+- $\displaystyle T_{k} = \frac{\pi}{\omega}$
+
+$\displaystyle T_{k} = \frac{\pi}{\sqrt{ \frac{l \cdot g}{\frac{2}{5}R^2+l^2} }} = \pi \cdot \frac{\sqrt{ l \cdot \left[ \frac{2}{5}\left( \frac{R}{l} \right)^2+1 \right] }}{\sqrt{ l \cdot g }} = \pi \cdot \sqrt{ \frac{l}{g} } \cdot \sqrt{ \frac{2}{5} \left( \frac{R}{l}^2 + 1 \right) }$
 
 ### Výsledek
 
-pro $\displaystyle R \to 0 \implies T_{kyv} = \pi \cdot \sqrt{ \frac{l}{g} }$
+pro $\displaystyle R \to 0 \implies T_{k} = \pi \cdot \sqrt{ \frac{l}{g} }$
 - doba kyvu matematického kyvadla
 
-bude-li R 10% délky závěsu l ($R = 0.1 \cdot l$)
-- $\displaystyle T_{kyv} = T^M_{kyv} \cdot \sqrt{ \frac{2}{5} \left(\frac{0.1 \cdot l}{l}\right)^2 +1 } = T^M_{kyv \cdot \sqrt{ 1.004 }} = T^M_{kyv} \cdot 1,002$
-- chyba by byla 0.2%
+bude-li R 10% délky závěsu $l \implies R = 0.1\cdot l$
+- $\displaystyle T_{k} = T^M_{k} \cdot \sqrt{ \frac{2}{5} \left(\frac{0.1 \cdot l}{l}\right)^2 +1 } = T^M_{k \cdot \sqrt{ 1.004 }} = T^M_{k} \cdot 1,002$
+- chyba by byla 0.2%

KFY FYI1/Priklad11.md

@@ -1,6 +1,6 @@
 ### Zadání
 
-Paprsek bílého světla dopadá ve vzduchu na flintové sklo (druh skla používaného v optice) **pod úhlem 60°**. Index lomu flintového skla pro červené **světlo vlnové délky 761 nm je 1.735** a pro fialové **světlo vlnové délky 397 nm je 1,811**. Určete **úhel mezi lomeným červeným a fialovým paprskem**.
+Paprsek bílého světla dopadá ve vzduchu na flintové sklo (druh skla používaného v optice) **pod úhlem 60°**. Index lomu flintového skla pro červené **světlo vlnové délky 761 nm je 1,735** a pro fialové **světlo vlnové délky 397 nm je 1,811**. Určete **úhel mezi lomeným červeným a fialovým paprskem**.
 
 - $\alpha = 60^\circ$
 - $v_{č} = 1.735$