Přidání poznámek k ortogonálnímu průmětu v LAA

KMA LAA/9. Prostory se skalárním součinem.md

@@ -10,7 +10,20 @@ Nechť $U$ je lineární vektorový prostor nad $\mathbb{R}$. Zobrazení $(\vec{
 
 se nazývá **skalární součin**.
 
-### Euklidovský prostor
+#### Skalární součin v prostorech nad $\mathbb{C}$
+
+Nechť $U$ je lineární vektorový prostor nad $C$. Zobrazení $(\vec{x}, \vec{y}) : U \times U \to \mathbb{C}$ splňující vlastnosti
+1. $(\vec{x}, \vec{x}) \geq 0$ pro každé $\vec{x} \in U; (\vec{x}, \vec{x}) = 0$, právě když $\vec{x} = \vec{o}$,
+2. $(\vec{x}, \vec{y}) = \overline{(\vec{y}, \vec{x})} \space \forall \vec{x}, \vec{y} \in U$,
+3. $(k\vec{x}, \vec{y}) = k(\vec{x}, \vec{y}) \space \forall \vec{x}, \vec{y} \in U$ a $\forall k \in \mathbb{C}$
+4. $(\vec{x} + \vec{y}, \vec{z}) = (\vec{x}, \vec{z}) + (\vec{y}, \vec{z}) \space \forall \vec{x}, \vec{y}, \vec{z} \in U$,
+
+se nazývá **skalární součin**. L.V.P. se skalárním součinem se nazývá **Unitární prostor**.
+
+Vše zde funguje jako v Eukleidovském prostoru, až na Pythagorovu větu, kde neplatí opačná implikace, tj.
+platí-li rovnost $\Vert \vec{x} + \vec{y} \Vert^2 = \Vert \vec{x} \Vert^2 + \Vert \vec{y} \Vert^2$, potom nemusí platit, že $\vec{x} \perp \vec{y}$.
+
+### Eukleidovský prostor
 
 Lineární vektorový prostor se skalárním součinem se nazývá **Eukleidovský prostor**.
 
@@ -89,3 +102,60 @@ V každém Eukleidovském prostoru konečné dimenze existuje ortogonální báz
     $$
 
 5. Pak jistě $\vec{g}_{k} \perp \vec{g}_{1}, \vec{g}_{k} \perp \vec{g}_{2}, \dots, \vec{g}_{k} \perp \vec{g}_{k-1}$.
+
+### Ortogonální průmět
+
+Mějme Eukleidovský prostor $U$, jeho podprostor $V$ a v něm generátor (ne nutně bázi) $\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}, \dots, \vec{b}_{k}$. Máme určit ortogonální průmět $\overline{\vec{x}}$ prvku $\vec{x} \in U$ do $V$.
+- Víme, že $\vec{x} - \overline{\vec{x}} \perp \vec{b}_{i}$ pro každé $i = 1, 2, \dots, k$.
+- Dále: $\overline{\vec{x}} \in V$, tedy $\overline{\vec{x}} = a_{1}\vec{b}_{1} + a_{2}\vec{b}_{2} + \dots + a_{k}\vec{b}_{k}$  (je to LK generátorů).
+
+![[_assets/ortogonalni-prumet.png]]
+
+Pro každé $i = 1, 2, \dots, k$ platí:
+
+$$
+0 = (\vec{b}_{i}, \vec{x} - \overline{\vec{x}}) = (\vec{b}_{i}, \vec{x} - a_{1}\vec{b}_{1} + a_{2}\vec{b}_{2} + \dots + a_{k}\vec{b}_{k}) = (\vec{b}_{i}, \vec{x}) - a_{1}(\vec{b}_{i}, \vec{b}_{1}) - a_{2}(\vec{b}_{i}, \vec{b}_{2}) - \dots - a_{k}(\vec{b}_{i}, \vec{b}_{k}).
+$$
+
+Dostaneme tak soustavu rovnic:
+
+$$
+\begin{matrix}
+(\vec{b}_{1}, \vec{b}_{1})a_{1} + (\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2})a_{2} + \dots + (\vec{b}_{1}, \vec{b}_{k})a_{k} = (\vec{b}_{i}, \vec{x}) \qquad i=1 \\
+(\vec{b}_{2}, \vec{b}_{1})a_{1} + (\vec{b}_{2}, \vec{b}_{2})a_{2} + \dots + (\vec{b}_{2}, \vec{b}_{k})a_{k} = (\vec{b}_{2}, \vec{x}) \qquad i=2 \\
+\vdots \qquad\qquad \vdots \qquad\qquad \vdots \qquad\qquad \vdots \\
+(\vec{b}_{k}, \vec{b}_{1})a_{1} + (\vec{b}_{k}, \vec{b}_{2})a_{2} + \dots + (\vec{b}_{k}, \vec{b}_{k})a_{k} = (\vec{b}_{k}, \vec{x}) \qquad i=k
+\end{matrix}
+$$
+
+tedy **Gramovu matici**:
+
+$$
+\begin{bmatrix}
+(\vec{b}_{1}, \vec{b}_{1}) & (\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}) & \dots & (\vec{b}_{1}, \vec{b}_{k}) \\
+(\vec{b}_{2}, \vec{b}_{1}) & (\vec{b}_{2}, \vec{b}_{2}) & \dots & (\vec{b}_{2}, \vec{b}_{k}) \\
+\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
+(\vec{b}_{k}, \vec{b}_{1}) & (\vec{b}_{k}, \vec{b}_{2}) & \dots & (\vec{b}_{k}, \vec{b}_{k})
+\end{bmatrix}
+\begin{bmatrix}
+a_{1} \\
+a_{2} \\
+\vdots \\
+a_{3}
+\end{bmatrix}
+=
+\begin{bmatrix}
+(\vec{b}_{1}, \vec{x}) \\
+(\vec{b}_{2}, \vec{x}) \\
+\vdots \\
+(\vec{b}_{k}, \vec{x})
+\end{bmatrix}
+$$
+
+- Je-li $\{ \vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}, \dots, \vec{b}_{k} \}$ **ortogonální báze**, potom **Gramova matice je diagonální**.
+- Gramova matice je regulární, právě když množina vektorů $\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}, \dots, \vec{b}_{k}$ je LN.
+
+Zřejmě $\overline{\vec{x}}$ je nejbližším vektorem k $\vec{x}$ ve $V$.
+
+Je-li $V$ podprostorem prostoru $U$ a $\vec{x} \notin V$, potom existuje právě jeden prvek $\overline{\vec{x}}$ takový, že $\vec{x} - \overline{\vec{x}} \perp V$ a $\overline{\vec{x}} \in V$.
+- Pro každý vektor $\vec{y} \in V$ platí $\Vert \vec{x} - \vec{y} \Vert \geq \Vert \vec{x} - \overline{\vec{x}} \Vert$ a rovnost nastává, právě když $\vec{y} = \overline{\vec{x}}$.