Filip Znachor 54139b1fd2 Přidání poznámek k ortogonálnímu průmětu v LAA

2022-12-31 13:04:23 +01:00

8.4 KiB

Raw Blame History

Prostory se skalárním součinem

Skalární součin

Nechť U je lineární vektorový prostor nad \mathbb{R}. Zobrazení (\vec{x}, \vec{y}):U \times U \to \mathbb{R} splňující vlastnosti

(\vec{x}, \vec{x}) \geq 0 pro každé \vec{x} \in U; (\vec{x}, \vec{x}) = 0, právě když \vec{x} = \vec{o},
(\vec{x}, \vec{y}) = (\vec{y}, \vec{x}) \space \forall \vec{x}, \vec{y} \in U,
(k\vec{x}, \vec{y}) = k(\vec{x}, \vec{y}) \space \forall \vec{x}, \vec{y} \in U a \forall k \in \mathbb{R}
(\vec{x} + \vec{y}, \vec{z}) = (\vec{x}, \vec{z}) + (\vec{y}, \vec{z}) \space \forall \vec{x}, \vec{y}, \vec{z} \in U,

se nazývá skalární součin.

Skalární součin v prostorech nad `\mathbb{C}`

Nechť U je lineární vektorový prostor nad C. Zobrazení (\vec{x}, \vec{y}) : U \times U \to \mathbb{C} splňující vlastnosti

(\vec{x}, \vec{x}) \geq 0 pro každé \vec{x} \in U; (\vec{x}, \vec{x}) = 0, právě když \vec{x} = \vec{o},
(\vec{x}, \vec{y}) = \overline{(\vec{y}, \vec{x})} \space \forall \vec{x}, \vec{y} \in U,
(k\vec{x}, \vec{y}) = k(\vec{x}, \vec{y}) \space \forall \vec{x}, \vec{y} \in U a \forall k \in \mathbb{C}
(\vec{x} + \vec{y}, \vec{z}) = (\vec{x}, \vec{z}) + (\vec{y}, \vec{z}) \space \forall \vec{x}, \vec{y}, \vec{z} \in U,

se nazývá skalární součin. L.V.P. se skalárním součinem se nazývá Unitární prostor.

Vše zde funguje jako v Eukleidovském prostoru, až na Pythagorovu větu, kde neplatí opačná implikace, tj. platí-li rovnost \Vert \vec{x} + \vec{y} \Vert^2 = \Vert \vec{x} \Vert^2 + \Vert \vec{y} \Vert^2, potom nemusí platit, že \vec{x} \perp \vec{y}.

Eukleidovský prostor

Lineární vektorový prostor se skalárním součinem se nazývá Eukleidovský prostor.

Příklad:

\mathbb{R}^3 : (\vec{x}, \vec{y}) = x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2} + x_{3}y_{3}
\displaystyle \mathbb{R}^n : (\vec{x}, \vec{y}) = x_{1}y_{1} + x_{1}y_{1} + \dots + x_{n}y_{n} = \sum^n_{i=1} x_{i}y_{i}
\displaystyle C(0, 1) : (f, g) = \int^1_{0} f(x) \cdot g(x) \, dx
\displaystyle \mathbb{P}_{n} : (p(x); q(x)) = \int^b_{a} p(x) \cdot q(x) \, dx

V Eukleidovském prostoru platí (pro každé k \in \mathbb{R} a $\vec{x}, \vec{y}, \vec{z} \in U$):

(\vec{x}, k\vec{y}) = k(\vec{x}, \vec{y})
(\vec{x}, \vec{y} + \vec{z}) = (\vec{x}, \vec{y}) + (\vec{x}, \vec{z})
(\vec{x}, \vec{o}) = (\vec{o}, \vec{x}) = 0

Cauchy-Schwarzova nerovnost - Je-li U Eukleidovský prostor, potom pro každé \vec{x}, \vec{y} \in U platí

(\vec{x}, \vec{y})^2 \leq (\vec{x}, \vec{x}) \cdot (\vec{y}, \vec{y}).

Norma

Norma v lineárním vektorovém prostoru U je zobrazení \Vert \vec{x} \Vert : U \to \mathbb{R} s vlastostmi

\Vert \vec{x} \Vert \geq 0 \, \forall \vec{x} \in U;\space \Vert \vec{x} \Vert = 0, právě když \vec{x} = \vec{o},
\Vert k\vec{x} \Vert = \vert k \vert \cdot \Vert \vec{x} \Vert \ \forall\vec{x} \in U a \forall k \in \mathbb{R},
\Vert \vec{x} + \vec{y} \Vert \leq \Vert \vec{x} \Vert + \Vert \vec{y} \Vert \ \forall \vec{x}, \vec{y} \in \mathbb{R}.

Je-li U Eukleidovský prostor, potom \Vert \vec{x} \Vert = \sqrt{ (\vec{x}, \vec{x}) } je norma. Nazývá se norma indukovaná sklárním součinem.

Pro dva prvky x, y libovolného L.V.P. U lze definovat úhel dvou prvků

$$ \displaystyle \phi = \arccos \frac{(\vec{x}, \vec{y})}{\Vert \vec{x} \Vert \cdot \Vert \vec{y} \Vert}

a vzdálenost dvou prvků d(\vec{x}, \vec{y}) = \Vert \vec{x} - \vec{y} \Vert. Vzdálenosti se obvykle říká metrika a příslušnému prostoru metrický prostor.

Ortogonalita

Dva prvky \vec{x}, \vec{y} Eukleidovského prostoru U jsou ortogonální (kolmé), jestliže (\vec{x}, \vec{y}) = 0.

Píšeme \vec{x} \perp \vec{y}.
Množiny X, Y, \subset U jsou ortiginální, jestliže \vec{x} \perp \vec{y} pro každé \vec{x} \in X a \vec{y} \in Y.

Každá podmnožina Eukleidovského prostoru, jejíž prvky jsou nenulové a navzájem ortogonální, je LN.

Žádný ze vzájemně kolmých vektorů není možné vyjádřit jako LK ostatních.

Pythagorova věta

Nechť U je Eukleidův prostor, \vec{x}, \vec{y} \in U. Potom

$$ \vec{x} \perp \vec{y} \iff \Vert \vec{x} + \vec{y} \Vert^2 = \Vert \vec{x} \Vert^2 + \Vert \vec{y} \Vert^2.

Ortogonální báze

Báze Eukleidovského prostoru U, jejíž každé dva prvky jsou ortogonální.

např. kanonická báze

V každém Eukleidovském prostoru konečné dimenze existuje ortogonální báze.

Gram-Schmidtův ortogonalizační proces

určení ortogonální báze ze zadané báze

Mějme v U bázi \vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}, \dots, \vec{b}_{n}; hledáme ortogonální bázi \vec{g}_{1}, \vec{g}_{2}, \dots, \vec{g}_{n}.
Položíme \vec{g}_{1} = \vec{b}_{1}.
Určíme \displaystyle \vec{g}_{2} = \vec{b}_{2} - \frac{\vec{b}_{2}, \vec{g}_{1}}{(\vec{g}_{1}, \vec{g}_{1})} \vec{g}_{1}, což je ortogonální (kolmý) průmět vektoru \vec{b}_{2} do přímky dané vektorem \vec{g}_{1}. Platí, že \vec{g}_{2} \perp \vec{g}_{1}.
Obecně hledáme \vec{g}_{k} jako \vec{b}_{k} - \overline{\vec{b}_{k}}, kde \overline{\vec{b}_{k}} je ortogonální průmět prvku \vec{b}_{k} do podprostoru s ortogonální bází \vec{g}_{1}, \vec{g}_{2}, \dots, \vec{g}_{k-1}. Tedy: $$ \displaystyle \vec{g}{k} = \vec{b}{k} - \biggl( \frac{(\vec{b}{k}, \vec{g}{1})}{(\vec{g}{1}, \vec{g}{1})} \vec{g}{1} + \frac{(\vec{b}{k}, \vec{g}{2})}{(\vec{g}{2}, \vec{g}{2})} \vec{g}{2} + \dots + \frac{(\vec{b}{k}, \vec{g}{k-1})}{(\vec{g}{k-1}, \vec{g}{k-1})} \vec{g}_{k-1} \biggr).
Pak jistě \vec{g}_{k} \perp \vec{g}_{1}, \vec{g}_{k} \perp \vec{g}_{2}, \dots, \vec{g}_{k} \perp \vec{g}_{k-1}.

Ortogonální průmět

Mějme Eukleidovský prostor U, jeho podprostor V a v něm generátor (ne nutně bázi) \vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}, \dots, \vec{b}_{k}. Máme určit ortogonální průmět \overline{\vec{x}} prvku \vec{x} \in U do V.

Víme, že \vec{x} - \overline{\vec{x}} \perp \vec{b}_{i} pro každé i = 1, 2, \dots, k.
Dále: \overline{\vec{x}} \in V, tedy \overline{\vec{x}} = a_{1}\vec{b}_{1} + a_{2}\vec{b}_{2} + \dots + a_{k}\vec{b}_{k} (je to LK generátorů).

Pro každé i = 1, 2, \dots, k platí:

$$ 0 = (\vec{b}{i}, \vec{x} - \overline{\vec{x}}) = (\vec{b}{i}, \vec{x} - a_{1}\vec{b}{1} + a{2}\vec{b}{2} + \dots + a{k}\vec{b}{k}) = (\vec{b}{i}, \vec{x}) - a_{1}(\vec{b}{i}, \vec{b}{1}) - a_{2}(\vec{b}{i}, \vec{b}{2}) - \dots - a_{k}(\vec{b}{i}, \vec{b}{k}).

Dostaneme tak soustavu rovnic:

$$ \begin{matrix} (\vec{b}{1}, \vec{b}{1})a_{1} + (\vec{b}{1}, \vec{b}{2})a_{2} + \dots + (\vec{b}{1}, \vec{b}{k})a_{k} = (\vec{b}{i}, \vec{x}) \qquad i=1 \ (\vec{b}{2}, \vec{b}{1})a{1} + (\vec{b}{2}, \vec{b}{2})a_{2} + \dots + (\vec{b}{2}, \vec{b}{k})a_{k} = (\vec{b}{2}, \vec{x}) \qquad i=2 \ \vdots \qquad\qquad \vdots \qquad\qquad \vdots \qquad\qquad \vdots \ (\vec{b}{k}, \vec{b}{1})a{1} + (\vec{b}{k}, \vec{b}{2})a_{2} + \dots + (\vec{b}{k}, \vec{b}{k})a_{k} = (\vec{b}_{k}, \vec{x}) \qquad i=k \end{matrix}

tedy Gramovu matici:

$$ \begin{bmatrix} (\vec{b}{1}, \vec{b}{1}) & (\vec{b}{1}, \vec{b}{2}) & \dots & (\vec{b}{1}, \vec{b}{k}) \ (\vec{b}{2}, \vec{b}{1}) & (\vec{b}{2}, \vec{b}{2}) & \dots & (\vec{b}{2}, \vec{b}{k}) \ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \ (\vec{b}{k}, \vec{b}{1}) & (\vec{b}{k}, \vec{b}{2}) & \dots & (\vec{b}{k}, \vec{b}{k}) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_{1} \ a_{2} \ \vdots \ a_{3} \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} (\vec{b}{1}, \vec{x}) \ (\vec{b}{2}, \vec{x}) \ \vdots \ (\vec{b}_{k}, \vec{x}) \end{bmatrix}

Je-li \{ \vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}, \dots, \vec{b}_{k} \} ortogonální báze, potom Gramova matice je diagonální.
Gramova matice je regulární, právě když množina vektorů \vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}, \dots, \vec{b}_{k} je LN.

Zřejmě \overline{\vec{x}} je nejbližším vektorem k \vec{x} ve V.

Je-li V podprostorem prostoru U a \vec{x} \notin V, potom existuje právě jeden prvek \overline{\vec{x}} takový, že \vec{x} - \overline{\vec{x}} \perp V a \overline{\vec{x}} \in V.

Pro každý vektor \vec{y} \in V platí \Vert \vec{x} - \vec{y} \Vert \geq \Vert \vec{x} - \overline{\vec{x}} \Vert a rovnost nastává, právě když \vec{y} = \overline{\vec{x}}.

8.4 KiB Raw Blame History