Úprava poznámek z LAA
This commit is contained in:
parent
eae97e35a9
commit
54e9ec1c3e
|
|
@ -29,9 +29,9 @@
|
|||
### Inercie kvadratické formy
|
||||
|
||||
- Nechť $\kappa(\vec{x}) = \vec{x}^{T}A\vec{x}$ je kvadratická forma, **A** reálná symetrická matice. Označme
|
||||
- $k$ - počet kladných čísel **A** (vč. násobností);
|
||||
- $z$ - počet záporných čísel **A**;
|
||||
- $d$ - počet nulových čísel **A**.
|
||||
- $k$ - počet kladných vlastních čísel matice **A** (vč. násobností);
|
||||
- $z$ - počet záporných vlastních čísel matice **A**;
|
||||
- $d$ - počet nulových vlastních čísel matice **A**.
|
||||
- Trojici čísel ($k$, $z$, $d$) nazýváme **inercií kvadratické formy**.
|
||||
- značíme $in(\kappa) = (k, z, d)$
|
||||
|
||||
|
|
@ -51,7 +51,7 @@
|
|||
|
||||
- Nechť $A = [a_{ij}]$ je reálná symetrická matice řádu $n$ a $A_k$ je její podmatice obsahující prvky $a_{11}, a_{12}, \dots, a_{kk}$. Potom číslo $\det(A_k)$ nazveme **hlavním minorem matice** $A$ **řádu** $k$ a značí se $\Delta _{k}$.
|
||||
|
||||
### Definitnost kvadratické formy (Sylvestorovo kriterium)
|
||||
### Definitnost kvadratické formy (Sylvesterovo kriterium)
|
||||
|
||||
- Nechť **A** je reálná symetrická matice řádu $n$ s hlavními minory $\Delta _{1}, \Delta _{2}, \dots, \Delta _{n} \neq 0$.
|
||||
- Kvadratická forma $\kappa(\vec{x}) = \vec{x}^{T}A\vec{x}$ je **pozitivně definitní**, jestliže $\Delta _{i} > 0$ pro každé i z $\{1, 2, \dots, n\}$.
|
||||
|
|
|
|||
|
|
@ -69,7 +69,8 @@ Maticí **typu m/n** nazveme soubor (tabulku) m x n prvků (čísel) $a_{ij}$ za
|
|||
- vynásobíme všechny členy konstantou
|
||||
- **Násobení dvou matic**
|
||||
- nekomutativní
|
||||
- matice $A_{m/\underline{n}}$ a $B_{\underline{n}/p}$
|
||||
- pouze když násobíme matici $A_{m/\underline{n}}$ maticí $B_{\underline{n}/p}$
|
||||
- výsledná matice bude $C_{m/p}$
|
||||
|
||||
### Pivot
|
||||
|
||||
|
|
|
|||
|
|
@ -12,7 +12,7 @@ Příklady:
|
|||
|
||||
Vektorový prostor V nad tělesem K:
|
||||
- sčítání: $V + V \to V$
|
||||
- násobení: $K \times V \to V$
|
||||
- násobení: $K \cdot V \to V$
|
||||
|
||||
| typ | pro všechna | platí |
|
||||
| --- | ------------------------------------------------- | --------------------------------------------------------------- |
|
||||
|
|
@ -20,10 +20,10 @@ Vektorový prostor V nad tělesem K:
|
|||
| S | $\forall \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \in V$ | $\vec{u} + (\vec{v} + \vec{w}) = (\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w}$ |
|
||||
| S | $\exists \vec{o} \in V : \forall \vec{u} \in V$ | $\vec{u} + \vec{o} = \vec{u}$ |
|
||||
| S | $\forall \vec{u} \in V \ \ \exists \vec{v} \in V$ | $\vec{u} + \vec{v} = \vec{o}$ |
|
||||
| N | $\forall \vec{u} \in V, \forall a, b \in K$ | $a \times (b \times \vec{u}) = (a \times b) \times \vec{u}$ |
|
||||
| N | $\forall \vec{u} \in V$ | $1 \times \vec{u} = \vec{u}$ |
|
||||
| D | $\forall \vec{u} \in V, \forall a, b \in K$ | $(a + b) \times \vec{u} = a\vec{u} + b\vec{u}$ |
|
||||
| D | $\forall \vec{u}, \vec{v} \in V, \forall a \in K$ | $a \times (\vec{u} + \vec{v}) = a\vec{u} + a\vec{v}$ |
|
||||
| N | $\forall \vec{u} \in V, \forall a, b \in K$ | $a \cdot (b \cdot \vec{u}) = (a \cdot b) \cdot \vec{u}$ |
|
||||
| N | $\forall \vec{u} \in V$ | $1 \cdot \vec{u} = \vec{u}$ |
|
||||
| D | $\forall \vec{u} \in V, \forall a, b \in K$ | $(a + b) \cdot \vec{u} = a\vec{u} + b\vec{u}$ |
|
||||
| D | $\forall \vec{u}, \vec{v} \in V, \forall a \in K$ | $a \cdot (\vec{u} + \vec{v}) = a\vec{u} + a\vec{v}$ |
|
||||
|
||||
### Podprostor
|
||||
|
||||
|
|
|
|||
|
|
@ -6,6 +6,8 @@
|
|||
|
||||
Nazývá se také **homomorfizmus**.
|
||||
|
||||
$\dim(Ker \space \mathbb L) + \dim(Im \space \mathbb L) = \dim(U)$
|
||||
|
||||
### Ověření linearity zobrazení
|
||||
|
||||
- zkontrolovat, že platí
|
||||
|
|
@ -16,7 +18,7 @@ Nazývá se také **homomorfizmus**.
|
|||
|
||||
- všechny LK vektorů před zobrazením, které se po zobrazení rovnají 0
|
||||
- zjištění přes zjištění LK
|
||||
- $Ker \space \mathbb{L} = \{ \mathbb{L}(V) = 0 \}$
|
||||
- $Ker \space \mathbb{L} = \{ \forall \vec x \in U; \mathbb L (\vec x) = 0 \}$
|
||||
- zápis: $Ker \space \mathbb{L} = \langle \vec{u}; \vec{v} \rangle$
|
||||
|
||||
Zapíšu zobrazení do matice, po provedení GJEM zjistím, které prvky se zobrazí na nulový vektor (tedy si vyjádřím např. $a, b, c$).
|
||||
|
|
@ -24,6 +26,7 @@ Zapíšu zobrazení do matice, po provedení GJEM zjistím, které prvky se zobr
|
|||
### Obraz
|
||||
|
||||
- všechny LK vektorů po zobrazení
|
||||
- $Im \space \mathbb{L} = \{ \vec y \in V; \exists \vec x U, \mathbb{L}(\vec x) = \vec y \}$
|
||||
- zápis: $Im \space \mathbb{L} = \langle \vec{u}; \vec{v} \rangle$
|
||||
|
||||
Vypočítám jej opět zapsáním zobrazení do matice a provedením GJEM. Obrazem je poté LN množina vektorů (podobné jako u báze).
|
||||
|
|
@ -39,7 +42,9 @@ Každý prvek z prostoru $U$ se zobrazí přesně na jeden prvek z prostoru $V$.
|
|||
|
||||
### Izomorfní zobrazení
|
||||
|
||||
Lineární zobrazení je **izomorfizmem**, pokud je **prosté** a zároveň $\dim(Im \space \mathbb{L}) = \dim(V)$.
|
||||
Lineární zobrazení je **izomorfizmem**, pokud je **prosté** a dimenze jeho obrazu je stejná jako dimenze prostoru V.
|
||||
- platí $\dim(Ker \space \mathbb{L}) = \{\vec{o}_{U}\}$ a $\dim(Im \space \mathbb{L}) = \dim(V)$
|
||||
- $\dim(U) = \dim(V)$
|
||||
|
||||
## Matice lineárního zobrazení
|
||||
|
||||
|
|
|
|||
|
|
@ -52,7 +52,7 @@ Matice $A$ a $B$ jsou podobné, jestli existuje matice $T$ taková, aby platilo
|
|||
- $TAT^{-1} = B$
|
||||
- každá matice je podobná sama sobě ($T$ by byla jednotková matice $I$)
|
||||
|
||||
Pokud jsou matice A a B podobné, mají stejné charakteristické polynomy i spektra.
|
||||
Pokud jsou matice A a B podobné, mají **stejné charakteristické polynomy i spektra**.
|
||||
|
||||
#### Diagonalizace
|
||||
|
||||
|
|
|
|||
|
|
@ -13,12 +13,12 @@ se nazývá **skalární součin**.
|
|||
Skalární součin se vypočítá součinem prvků na stejných pozicí ve vektoru a jejich sečtením.
|
||||
- např. v $\mathbb{R}^3 : (\vec{x}, \vec{y}) = x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2} + x_{3}y_{3}$
|
||||
|
||||
#### Skalární součin v prostorech nad $\mathbb{C}$
|
||||
#### Skalární součin v prostorech nad C
|
||||
|
||||
Nechť $U$ je lineární vektorový prostor nad $C$. Zobrazení $(\vec{x}, \vec{y}) : U \times U \to \mathbb{C}$ splňující vlastnosti
|
||||
Nechť $U$ je lineární vektorový prostor nad $\mathbb{C}$. Zobrazení $(\vec{x}, \vec{y}) : U \times U \to \mathbb{C}$ splňující vlastnosti
|
||||
1. $(\vec{x}, \vec{x}) \geq 0$ pro každé $\vec{x} \in U; (\vec{x}, \vec{x}) = 0$, právě když $\vec{x} = \vec{o}$,
|
||||
2. $(\vec{x}, \vec{y}) = \overline{(\vec{y}, \vec{x})} \space \forall \vec{x}, \vec{y} \in U$,
|
||||
3. $(k\vec{x}, \vec{y}) = k(\vec{x}, \vec{y}) \space \forall \vec{x}, \vec{y} \in U$ a $\forall k \in \mathbb{C}$
|
||||
3. $(k\vec{x}, \vec{y}) = k(\vec{x}, \vec{y}) \space \forall \vec{x}, \vec{y} \in U$ a $\forall k \in \mathbb{C}$,
|
||||
4. $(\vec{x} + \vec{y}, \vec{z}) = (\vec{x}, \vec{z}) + (\vec{y}, \vec{z}) \space \forall \vec{x}, \vec{y}, \vec{z} \in U$,
|
||||
|
||||
se nazývá **skalární součin**. L.V.P. se skalárním součinem se nazývá **Unitární prostor**.
|
||||
|
|
@ -165,7 +165,7 @@ Je-li $V$ podprostorem prostoru $U$ a $\vec{x} \notin V$, potom existuje právě
|
|||
- Pro každý vektor $\vec{y} \in V$ platí $\Vert \vec{x} - \vec{y} \Vert \geq \Vert \vec{x} - \overline{\vec{x}} \Vert$ a rovnost nastává, právě když $\vec{y} = \overline{\vec{x}}$.
|
||||
|
||||
**Postup**:
|
||||
1. Potřebujeme prvky báze $\vec{b}_{i}$ prostoru, do kterého děláme prmět a prvek $\vec{z}$, jehož průmět budeme zjišťovat.
|
||||
1. Potřebujeme prvky báze $\vec{b}_{i}$ prostoru, do kterého děláme průmět a prvek $\vec{z}$, jehož průmět budeme zjišťovat.
|
||||
2. Pomocí vzorečku $(\vec{b_{1}}, \vec{b_{i}}) + (\vec{b_{2}}, \vec{b_{i}}) + \dots + (\vec{b_{i}}, \vec{b_{i}}) = (\vec{z}, \vec{b_{i}})$ vytvoříme Gramovu matici.
|
||||
3. Pomocí GJEM vyřešíme levou část matice, abychom zde získali jednotkovou matici.
|
||||
4. Výsledkem je vektor v pravé části matice.
|
||||
|
|
|
|||
Loading…
Reference in a new issue