Přidání 10. cvičení z TI

KIV TI/Cvičení/Cviceni10.md

@@ -0,0 +1,238 @@
+**Př. 1**: $\mathbb{Z}_{5}$
+
+$$
+A = \begin{bmatrix}
+1 & 4 & 1 & 1 & 1 \\
+2 & 4 & 0 & 0 & 1 \\
+0 & 2 & 1 & 1 & 1
+\end{bmatrix}
+\begin{matrix}
+\cdot \space 2 \\
+\cdot \space 1 \\
+\cdot \space 4
+\end{matrix}
+$$
+
+$$
+u = \begin{bmatrix}
+2 & 1 & 4
+\end{bmatrix}^\text{T}
+$$
+
+
+Získání vektoru $v$:
+- násobíme matici $A$ vektorem $u$
+	- $v = G^\text{T} \cdot u$
+	- vynásobíme řádky a sečteme sloupce
+
+$$
+\begin{bmatrix}
+2 & 3 & 2 & 2 & 2 \\
+2 & 4 & 0 & 0 & 1 \\
+0 & 3 & 4 & 4 & 4
+\end{bmatrix}
+$$
+$$
+\begin{bmatrix}
+4 & 0 & 1 & 1 & 2
+\end{bmatrix}^\text{T}
+$$
+
+Kontrolní matice:
+
+$$
+H_{A} = \begin{bmatrix}
+1 & 2 & 0 & 1 & 0 \\
+1 & 2 & 1 & 0 & 0
+\end{bmatrix}
+$$
+
+$$
+H_{A} \cdot v = \begin{bmatrix}
+0 & 0
+\end{bmatrix}^\text{T}
+$$
+
+Chybový vektor:
+
+$$
+e = \begin{bmatrix}
+0 & 2 & 0 & 0 & 0
+\end{bmatrix}
+$$
+
+$$
+w = v + e = \begin{bmatrix}
+4 & 2 & 1 & 1 & 2
+\end{bmatrix}^\text{T}
+$$
+
+Syndrom:
+$$
+s = H \cdot w = \begin{bmatrix}
+4 & 4
+\end{bmatrix}^\text{T}
+$$
+
+**Př. 2**: Navrhněte binární lineární kód, který umožní zakódovat šestiprvkové informační části tak, aby bylo možné **současně** opravovat jednoduché a detekovat dvojité chyby.
+
+Pozn.: Musíme vyjít od toho, jakou musí mít kód minimální Hammingovskou vzdálenost $d_{0}$. Potom si uvědomíme, jestli existují nějaké standardní kódy, které to splňují. Pokud neexistují, tak použijeme opakovací kód.
+
+Požadavky:
+- jednoduchá chyba - opravit
+- dvojitá chyba - detekovat
+
+Použitelné kódy:
+- $d_{0} = 1 \dots$ _nedává smysl_
+- $d_{0} = 2 \dots$ parita
+- $d_{0} = 3 \dots$ Hammingův kód (i zkrácený)
+- $d_{0} = 4 \dots$ rozšířený Hammingův kód (i zkrácený)
+- $d_{0} \geq 5 \dots$ opakovací kód
+
+$$
+e_{i} = \begin{bmatrix}
+0 & \dots & 0 & 1 & 0 & \dots & 0
+\end{bmatrix}^\text{T}
+$$
+
+$$
+s = H \cdot w = H \cdot (v + e_{i}) = H \cdot v + H \cdot e_{i} = H \cdot e_{i} = H_{0,i}
+$$
+
+$$
+H = \left[\begin{array}{c:c}
+-B^\text{T} & I_{n-k}
+\end{array}\right]
+$$
+- v matici $H$ jsou sloupce s více než jednou jedničkou
+
+$$
+G = \left[\begin{array}{c:c}
+I_{k} & B
+\end{array}\right]
+$$
+- v $B$ alespoň dvě jedničky
+
+Opravování jednonásobných chyb:
+- $k = 6$ (počet informačních prvků)
+- počet syndromů $2^r \geq 1 + k+r$
+	- 1 syndrom pro bezchybný přenos
+	- $k+r$ syndromů pro každý prvek
+	- $r = n-k$
+
+Hledání $r$:
+- $2^r \geq 1 + 6 + r$
+- $2^r \geq r + 7$
+- $r = 4$
+
+$$
+G = \left[\begin{array}{cccccc:cccc|c}
+1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
+0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\
+0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\
+0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
+0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
+0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1
+\end{array}\right] \quad \begin{matrix}
+3 \\
+5 \\
+6 \\
+7 \\
+9 \\
+10
+\end{matrix}
+$$
+
+Pozn.: Při vyplňování druhé části matice začínáme číslem 3 a nesmíme přidávat mocniny 2. Přidáme poslední sloupec, který je paritní, díky němuž můžeme detekovat dvojnásobné chyby.
+
+Vytvoříme **kontrolní matici**:
+
+$$
+H_{R} = \left[\begin{array}{cccccc:ccccc}
+0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
+0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
+1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
+1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
+1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1
+\end{array}\right]
+$$
+
+$$
+H = \left[\begin{array}{cccccc:cccc:c}
+0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
+0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
+1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
+1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
+1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1
+\end{array}\right]
+$$
+
+Přidáváme poslední řádek jedniček a poslední sloupec nul.
+
+**Zakódování dat**:
+- $u = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}^\text{T}$
+- $v = \left[\begin{array}{cccccc:ccccc} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right]^\text{T}$
+- pro zjištění druhé části $v$ sečteme první dva řádky matice $G_{R}$
+
+**Jednoduchá chyba**:
+- $e = \left[\begin{array}{ccccc:cccc} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]^\text{T}$
+- $w = \left[\begin{array}{ccccc:cccc} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right]^\text{T}$
+- $s = H_{R} \cdot w$
+
+Pozn.: Při výpočtu sčítáme hodnoty ve sloupcích určených vektorem $w$ po jednotlivých řádcích, výsledkem je syndrom $s$.
+
+$$
+s = \begin{bmatrix}
+1 & 0 & 0 & 0 & 0
+\end{bmatrix}^\text{T}
+$$
+
+Pozn. 2: V případě jednoduché chyby je syndrom roven řádku kontrolné matice.
+
+**Dvojitá chyba**:
+- $e' = \left[\begin{array}{ccccc:cccc} 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]^\text{T}$
+- $w' = \left[\begin{array}{ccccc:cccc} 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right]^\text{T}$
+
+$$
+s' = \begin{bmatrix}
+0 & 0 & 1 & 0 & 1
+\end{bmatrix}^\text{T}
+$$
+
+Pozn.: Tento řádek v kontrolní matici nenajdeme.
+
+**Př. 3**: Sdělovací kanál přenáší 120 binárních znaků za sekundu. Zdroj generuje 100 binárních znaků za vteřinu. Navrhněte lineární binární kód, který umožní opravovat jednoduché chyby.
+
+Řešení: Hammingův kód vyhovující podmínce $2^r = k + r + 1$.
+
+H. kód (7, 4) - 4 informační
+- $100$ znaků/s $\implies 25$ znaků/s $\implies 25 \cdot 7$ znaků/s $= 175$ znaků/s
+- kanál tento přenos nezvládne
+
+| r   | k   | n   | $2^r$ | k/n                |
+| --- | --- | --- | ----- | ------------------ |
+| 3   | 4   | 7   | 8     | 0.57               |
+| 4   | 11  | 15  | 16    | 0.73               |
+| 5   | 26  | 31  | 32    | 0.838 $\geq 0.833$ | 
+
+Redundance $\rho = 1-\frac{k}{n}$
+- $\frac{k}{n}$ - informační poměr
+
+Potřebujeme informační poměr lepší než $\frac{k}{n} \geq \frac{100}{120} = 0.833$.
+
+Počet informačních znaků vygenerovaných za jednotku času ... $k = 100$
+Počet znaků po zakódování ... $n = 120$
+
+**Př. 4**: Navrhněte lineární kód, který umožní kódovat tříprvkové informační části tak, aby bylo možné **současně** opravovat dvojité a detekovat čtyřnásobné chyby.
+
+Řešení: opakovací kód s počtem opakování 7
+
+$$
+G = \left[\begin{array}{ccc:c}
+1 & 0 & 0 & 111111 &  &  \\
+0 & 1 & 0 &  & 111111 &  \\
+0 & 0 & 1 &  &  & 111111 
+\end{array}\right]
+$$
+
+šířka: 21, výška: 3