Přidání 8. a 9. cvičení z TI

KIV TI/Cvičení/Cviceni08.md

@@ -0,0 +1,26 @@
+**Př. 1**: Zdroj generuje znaky z abecedy $\{a, b, c, d, e, f, g, h, i, j\}$. Pravděpodobnosti jejich výskytů jsou 20 %, 18 %, 15 %, 12 %, 10 %, 8 %, 7 %, 4 %, 4 %, 2 %. Cílová abeceda kódu je $\{0, 1, 2\}$.
+
+Kroky
+- seřadit podle pravděpodobností
+- začínám od posledních dvou
+	- sečtu jejich pravděpodobnost ($2+4 = 6$)
+	- zařadím ji do tabulky
+- pokračuji vždy se třemi dolními prvky
+	- $4+6+7 = 17$
+	- $8 + 10 + 12 = 30$
+	- $15+17+18 = 50$
+	- $20+30+50 = 100$
+- vznikl strom
+
+| znak | pravděpodobnost | kód  |
+| ---- | --------------- | ---- |
+| a    | 20              | 2    | 
+| b    | 18              | 00   |
+| c    | 15              | 02   |
+| d    | 12              | 10   |
+| e    | 10              | 11   |
+| f    | 8               | 12   |
+| g    | 7               | 010  |
+| h    | 4               | 012  |
+| i    | 4               | 0110 |
+| j    | 2               | 0111 |

KIV TI/Cvičení/Cviceni09.md

@@ -0,0 +1,168 @@
+**Př. 1**: Uvažujme lineární prostor $\mathbb{Z}_{2}^5$ (množina pětic tvořených z 0 a 1). Slova předpokládáme jako $x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} x_{5}$.
+
+1) všechna slova splňující podmínku $x_{2} + x_{3} = x_{5}$
+	- nulový prvek $00000$ - platí
+		- $x_{2} + x_{3} = 0 + 0 = 0 = x_{5}$
+	- sčítání - platí
+		- $x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} x_{5} \quad x_{2} + x_{3} = x_{5}$
+		- $y_{1} y_{2} y_{3} y_{4} y_{5} \quad y_{2} + y_{3} = y_{5}$
+		- $(x_{1}+y_{1}) (x_{2}+y_{2}) (x_{3}+y_{3}) (x_{4}+y_{4}) (x_{5}+y_{5})$
+		- $(x_{2}+y_{2}) + (x_{3}+y_{3}) \,?\, (x_{5}+y_{5})$
+		- $L = x_{2}+y_{2}+x_{3}+y_{3} = (x_{2}+y_{2})+(x_{3}+y_{3}) = x_{5}+y_{5}$
+2) všechna slova splňující podmínku $x_{2} + x_{3} = 1$
+	- nulový prvek $00000$ - neplatí!
+	- není lineární kód
+3) všechna slova s méně než třemi 1
+	- sčítání - neplatí
+		 - $11000$
+		 - $00110$
+		- $11110$ (nepatří)
+
+**Př. 2**: Pro lineární kód 1 určíme dimenzi, bázi, kontrolní rovnici a generující i kódovou matici.
+
+- dimenze = 4
+	- $x_{5}$ je zabezpečovací prvek
+	- zbytek prvků (4) je informační
+- báze
+	- kanonická báze
+	- poté dopočítám poslední prvek
+	- $[10000]^T$
+	- $[01001]^T$
+	- $[00101]^T$
+	- $[00010]^T$
+- kontrolní rovnice
+	- $x_{2} + x_{3} + x_{5} = 0$
+	- přičtu $x_{5}$, protože v tělese $Z_{2}$ je to jako odčítání
+- generující matice
+	- $G = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$
+- kódová matice
+	- pokud $G = [I_{k} | B]$, tak $H = [-B^T | I_{n-k}]$
+	- $H = [01101]$
+
+**Př. 3**: Těleso $Z_{5}$.
+
+sčítací tabulka
+
+| +   | 0   | 1   | 2   | 3   | 4   |
+| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
+| 0   | 0   | 1   | 2   | 3   | 4   |
+| 1   | 1   | 2   | 3   | 4   | 0   |
+| 2   | 2   | 3   | 4   | 0   | 1   |
+| 3   | 3   | 4   | 0   | 1   | 2   | 
+| 4   | 4   | 0   | 1   | 2   | 3   |
+
+násobící tabulka
+
+| *   | 0   | 1   | 2   | 3   | 4   |
+| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
+| 0   | 0   | 0   | 0   | 0   | 0   |
+| 1   | 0   | 1   | 2   | 3   | 4   |
+| 2   | 0   | 2   | 4   | 1   | 3   |
+| 3   | 0   | 3   | 1   | 4   | 2   |
+| 4   | 0   | 4   | 3   | 2   | 1   | 
+
+opačné prvky:
+- $-1 = 4$
+- $-2 = 3$
+- $-3 = 2$
+- $-4 = 1$
+- $-0 = 0$
+
+převrácené prvky:
+- $1^{-1} = 1$
+- $2^{-1} = 3$
+- $3^{-1} = 2$
+- $4^{-1} = 4$
+
+**Př. 4**: Rozhodněte, zda tato matice může být generující maticí lineárního kódu.
+
+$$
+A = \begin{bmatrix}
+1 & 4 & 1 & 1 & 1 \\
+2 & 4 & 0 & 0 & 1 \\
+0 & 2 & 1 & 1 & 0
+\end{bmatrix} \begin{array}{l}
+\\ + \space 3\cdot(1) \\ \\
+\end{array} \sim \begin{bmatrix}
+1 & 4 & 1 & 1 & 1 \\
+0 & 1 & 3 & 3 & 4 \\
+0 & 2 & 1 & 1 & 0
+\end{bmatrix} \begin{array}{l}
+\\ \\ + \space 3\cdot(2)
+\end{array} \sim \begin{bmatrix}
+1 & 4 & 1 & 1 & 1 \\
+0 & 1 & 3 & 3 & 4 \\
+0 & 0 & 0 & 0 & 2
+\end{bmatrix}
+$$
+
+Lineárně nezávislé (pivotové) sloupce: první, druhý a pátý
+
+Kolik bude mít kód značek? $5^3$
+- $[000\dots]$
+- $[001\dots]$
+- $[002\dots]$
+- $\vdots$
+- $[444\dots]$
+
+Závěr:
+- matice bude generovat lineární kód, ale nebude systematický
+- pro nalezení systematického kódu je potřeba provést permutaci sloupců
+	- $A' = [A_{1}A_{2}A_{5}A_{3}A_{4}]$
+	- v této matici provedeme GJEM a dostaneme se k systematickému tvaru generující matice
+
+$$
+A' = \begin{bmatrix}
+1 & 4 & 1 & 1 & 1 \\
+0 & 1 & 4 & 3 & 3 \\
+0 & 0 & 2 & 0 & 0
+\end{bmatrix} \begin{array}{l}
++ \space (2) \\ + \space 3 \cdot (3) \\ \cdot \space 3
+\end{array} \sim \left[\begin{array}{ccc:cc}
+1 & 0 & 0 & 4 & 4 \\
+0 & 1 & 0 & 3 & 3 \\
+0 & 0 & 1 & 0 & 0
+\end{array}\right] = G'
+$$
+
+$$
+H' = \left[\begin{array}{ccc:cc}
+1 & 2 & 0 & 1 & 0 \\
+1 & 2 & 0 & 0 & 1
+\end{array}\right]
+$$
+
+**Př. 5**: Těleso $Z_{3}$.
+
+$$
+G = \begin{bmatrix}
+1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
+0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
+1 & 1 & 0 & 0 & 0
+\end{bmatrix}
+$$
+
+Určete kontrolní rovnice a kontrolní matici.
+
+Kontrolní matice
+- předpokládáme obecný řádek kontrolní matice $[h_{1} h_{2} h_{3} h_{4} h_{5}]$
+1. $h_{1} + h_{2} + h_{3} + h_{4} + h_{5} = 0$
+2. $h_{2} + h_{3} + h_{4} + h_{5} = 0$
+3. $h_{1} + h_{2} = 0$
+- dosadíme řádek do řádku
+4. $h_{3} + h_{4} + h_{5} = 0$
+- $h_{3} = - h_{4} - h_{5}$
+- $h_{3} + 2h_{4} + 2h_{5}$
+
+$$
+H = \left[\begin{array}{ccc:cc}
+0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
+0 & 0 & 2 & 0 & 1
+\end{array}\right]
+$$
+
+sloupce v matici $H$ jsou $h_{1}, h_{2}, h_{3}, h_{4}, h_{5}$
+
+Kontrolní rovnice
+- $2v_{3} + v_{4} = 0$
+- $2v_{3} + v_{5} = 0$