FAV-ZCU/KIV TI/Cvičení/Cviceni09.md

Př. 1: Uvažujme lineární prostor \mathbb{Z}_{2}^5 (množina pětic tvořených z 0 a 1). Slova předpokládáme jako x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} x_{5}.

1. všechna slova splňující podmínku x_{2} + x_{3} = x_{5}
   • nulový prvek 00000 - platí
     • x_{2} + x_{3} = 0 + 0 = 0 = x_{5}
   • sčítání - platí
     • x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} x_{5} \quad x_{2} + x_{3} = x_{5}
     • y_{1} y_{2} y_{3} y_{4} y_{5} \quad y_{2} + y_{3} = y_{5}
     • (x_{1}+y_{1}) (x_{2}+y_{2}) (x_{3}+y_{3}) (x_{4}+y_{4}) (x_{5}+y_{5})
     • (x_{2}+y_{2}) + (x_{3}+y_{3}) \,?\, (x_{5}+y_{5})
     • L = x_{2}+y_{2}+x_{3}+y_{3} = (x_{2}+y_{2})+(x_{3}+y_{3}) = x_{5}+y_{5}
2. všechna slova splňující podmínku x_{2} + x_{3} = 1
   • nulový prvek 00000 - neplatí!
   • není lineární kód
3. všechna slova s méně než třemi 1
   • sčítání - neplatí
     • 11000
     • 00110
     • 11110 (nepatří)

Př. 2: Pro lineární kód 1 určíme dimenzi, bázi, kontrolní rovnici a generující i kódovou matici.

• dimenze = 4
  • x_{5} je zabezpečovací prvek
  • zbytek prvků (4) je informační
• báze
  • kanonická báze
  • poté dopočítám poslední prvek
  • [10000]^T
  • [01001]^T
  • [00101]^T
  • [00010]^T
• kontrolní rovnice
  • x_{2} + x_{3} + x_{5} = 0
  • přičtu x_{5}, protože v tělese Z_{2} je to jako odčítání
• generující matice
  • G = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}
• kódová matice
  • pokud G = [I_{k} | B], tak H = [-B^T | I_{n-k}]
  • H = [01101]

Př. 3: Těleso Z_{5}.

sčítací tabulka

+	0	1	2	3	4
0	0	1	2	3	4
1	1	2	3	4	0
2	2	3	4	0	1
3	3	4	0	1	2
4	4	0	1	2	3

násobící tabulka

*	0	1	2	3	4
0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4
2	0	2	4	1	3
3	0	3	1	4	2
4	0	4	3	2	1

opačné prvky:

• -1 = 4
• -2 = 3
• -3 = 2
• -4 = 1
• -0 = 0

převrácené prvky:

• 1^{-1} = 1
• 2^{-1} = 3
• 3^{-1} = 2
• 4^{-1} = 4

Př. 4: Rozhodněte, zda tato matice může být generující maticí lineárního kódu.

$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 1 & 1 & 1 \ 2 & 4 & 0 & 0 & 1 \ 0 & 2 & 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{array}{l} \ + \space 3\cdot(1) \ \ \end{array} \sim \begin{bmatrix} 1 & 4 & 1 & 1 & 1 \ 0 & 1 & 3 & 3 & 4 \ 0 & 2 & 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{array}{l} \ \ + \space 3\cdot(2) \end{array} \sim \begin{bmatrix} 1 & 4 & 1 & 1 & 1 \ 0 & 1 & 3 & 3 & 4 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}

Lineárně nezávislé (pivotové) sloupce: první, druhý a pátý

Kolik bude mít kód značek? 5^3

• [000\dots]
• [001\dots]
• [002\dots]
• \vdots
• [444\dots]

Závěr:

• matice bude generovat lineární kód, ale nebude systematický
• pro nalezení systematického kódu je potřeba provést permutaci sloupců
  • A' = [A_{1}A_{2}A_{5}A_{3}A_{4}]
  • v této matici provedeme GJEM a dostaneme se k systematickému tvaru generující matice

$$ A' = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 1 & 1 & 1 \ 0 & 1 & 4 & 3 & 3 \ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{array}{l}

• \space (2) \ + \space 3 \cdot (3) \ \cdot \space 3 \end{array} \sim \left[\begin{array}{ccc:cc} 1 & 0 & 0 & 4 & 4 \ 0 & 1 & 0 & 3 & 3 \ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right] = G'

$$ H' = \left[\begin{array}{ccc:cc} 1 & 2 & 0 & 1 & 0 \ 1 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]

Př. 5: Těleso Z_{3}.

$$ G = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

Určete kontrolní rovnice a kontrolní matici.

Kontrolní matice

• předpokládáme obecný řádek kontrolní matice [h_{1} h_{2} h_{3} h_{4} h_{5}]

1. h_{1} + h_{2} + h_{3} + h_{4} + h_{5} = 0
2. h_{2} + h_{3} + h_{4} + h_{5} = 0
3. h_{1} + h_{2} = 0

• dosadíme řádek do řádku

4. h_{3} + h_{4} + h_{5} = 0

• h_{3} = - h_{4} - h_{5}
• h_{3} + 2h_{4} + 2h_{5}

$$ H = \left[\begin{array}{ccc:cc} 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 2 & 0 & 1 \end{array}\right]

sloupce v matici H jsou h_{1}, h_{2}, h_{3}, h_{4}, h_{5}

Kontrolní rovnice

• 2v_{3} + v_{4} = 0
• 2v_{3} + v_{5} = 0