Přidání 8. a 9. cvičení z TI
This commit is contained in:
parent
bb3b0372ef
commit
9f666cc656
5
KIV TI/Cvičení/Cviceni08.excalidraw.svg
Normal file
5
KIV TI/Cvičení/Cviceni08.excalidraw.svg
Normal file
File diff suppressed because one or more lines are too long
After Width: | Height: | Size: 133 KiB |
26
KIV TI/Cvičení/Cviceni08.md
Normal file
26
KIV TI/Cvičení/Cviceni08.md
Normal file
|
@ -0,0 +1,26 @@
|
||||||
|
**Př. 1**: Zdroj generuje znaky z abecedy $\{a, b, c, d, e, f, g, h, i, j\}$. Pravděpodobnosti jejich výskytů jsou 20 %, 18 %, 15 %, 12 %, 10 %, 8 %, 7 %, 4 %, 4 %, 2 %. Cílová abeceda kódu je $\{0, 1, 2\}$.
|
||||||
|
|
||||||
|
Kroky
|
||||||
|
- seřadit podle pravděpodobností
|
||||||
|
- začínám od posledních dvou
|
||||||
|
- sečtu jejich pravděpodobnost ($2+4 = 6$)
|
||||||
|
- zařadím ji do tabulky
|
||||||
|
- pokračuji vždy se třemi dolními prvky
|
||||||
|
- $4+6+7 = 17$
|
||||||
|
- $8 + 10 + 12 = 30$
|
||||||
|
- $15+17+18 = 50$
|
||||||
|
- $20+30+50 = 100$
|
||||||
|
- vznikl strom
|
||||||
|
|
||||||
|
| znak | pravděpodobnost | kód |
|
||||||
|
| ---- | --------------- | ---- |
|
||||||
|
| a | 20 | 2 |
|
||||||
|
| b | 18 | 00 |
|
||||||
|
| c | 15 | 02 |
|
||||||
|
| d | 12 | 10 |
|
||||||
|
| e | 10 | 11 |
|
||||||
|
| f | 8 | 12 |
|
||||||
|
| g | 7 | 010 |
|
||||||
|
| h | 4 | 012 |
|
||||||
|
| i | 4 | 0110 |
|
||||||
|
| j | 2 | 0111 |
|
168
KIV TI/Cvičení/Cviceni09.md
Normal file
168
KIV TI/Cvičení/Cviceni09.md
Normal file
|
@ -0,0 +1,168 @@
|
||||||
|
**Př. 1**: Uvažujme lineární prostor $\mathbb{Z}_{2}^5$ (množina pětic tvořených z 0 a 1). Slova předpokládáme jako $x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} x_{5}$.
|
||||||
|
|
||||||
|
1) všechna slova splňující podmínku $x_{2} + x_{3} = x_{5}$
|
||||||
|
- nulový prvek $00000$ - platí
|
||||||
|
- $x_{2} + x_{3} = 0 + 0 = 0 = x_{5}$
|
||||||
|
- sčítání - platí
|
||||||
|
- $x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} x_{5} \quad x_{2} + x_{3} = x_{5}$
|
||||||
|
- $y_{1} y_{2} y_{3} y_{4} y_{5} \quad y_{2} + y_{3} = y_{5}$
|
||||||
|
- $(x_{1}+y_{1}) (x_{2}+y_{2}) (x_{3}+y_{3}) (x_{4}+y_{4}) (x_{5}+y_{5})$
|
||||||
|
- $(x_{2}+y_{2}) + (x_{3}+y_{3}) \,?\, (x_{5}+y_{5})$
|
||||||
|
- $L = x_{2}+y_{2}+x_{3}+y_{3} = (x_{2}+y_{2})+(x_{3}+y_{3}) = x_{5}+y_{5}$
|
||||||
|
2) všechna slova splňující podmínku $x_{2} + x_{3} = 1$
|
||||||
|
- nulový prvek $00000$ - neplatí!
|
||||||
|
- není lineární kód
|
||||||
|
3) všechna slova s méně než třemi 1
|
||||||
|
- sčítání - neplatí
|
||||||
|
- $11000$
|
||||||
|
- $00110$
|
||||||
|
- $11110$ (nepatří)
|
||||||
|
|
||||||
|
**Př. 2**: Pro lineární kód 1 určíme dimenzi, bázi, kontrolní rovnici a generující i kódovou matici.
|
||||||
|
|
||||||
|
- dimenze = 4
|
||||||
|
- $x_{5}$ je zabezpečovací prvek
|
||||||
|
- zbytek prvků (4) je informační
|
||||||
|
- báze
|
||||||
|
- kanonická báze
|
||||||
|
- poté dopočítám poslední prvek
|
||||||
|
- $[10000]^T$
|
||||||
|
- $[01001]^T$
|
||||||
|
- $[00101]^T$
|
||||||
|
- $[00010]^T$
|
||||||
|
- kontrolní rovnice
|
||||||
|
- $x_{2} + x_{3} + x_{5} = 0$
|
||||||
|
- přičtu $x_{5}$, protože v tělese $Z_{2}$ je to jako odčítání
|
||||||
|
- generující matice
|
||||||
|
- $G = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$
|
||||||
|
- kódová matice
|
||||||
|
- pokud $G = [I_{k} | B]$, tak $H = [-B^T | I_{n-k}]$
|
||||||
|
- $H = [01101]$
|
||||||
|
|
||||||
|
**Př. 3**: Těleso $Z_{5}$.
|
||||||
|
|
||||||
|
sčítací tabulka
|
||||||
|
|
||||||
|
| + | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|
||||||
|
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|
||||||
|
| 0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|
||||||
|
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 0 |
|
||||||
|
| 2 | 2 | 3 | 4 | 0 | 1 |
|
||||||
|
| 3 | 3 | 4 | 0 | 1 | 2 |
|
||||||
|
| 4 | 4 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|
||||||
|
|
||||||
|
násobící tabulka
|
||||||
|
|
||||||
|
| * | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|
||||||
|
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|
||||||
|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
|
||||||
|
| 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|
||||||
|
| 2 | 0 | 2 | 4 | 1 | 3 |
|
||||||
|
| 3 | 0 | 3 | 1 | 4 | 2 |
|
||||||
|
| 4 | 0 | 4 | 3 | 2 | 1 |
|
||||||
|
|
||||||
|
opačné prvky:
|
||||||
|
- $-1 = 4$
|
||||||
|
- $-2 = 3$
|
||||||
|
- $-3 = 2$
|
||||||
|
- $-4 = 1$
|
||||||
|
- $-0 = 0$
|
||||||
|
|
||||||
|
převrácené prvky:
|
||||||
|
- $1^{-1} = 1$
|
||||||
|
- $2^{-1} = 3$
|
||||||
|
- $3^{-1} = 2$
|
||||||
|
- $4^{-1} = 4$
|
||||||
|
|
||||||
|
**Př. 4**: Rozhodněte, zda tato matice může být generující maticí lineárního kódu.
|
||||||
|
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
A = \begin{bmatrix}
|
||||||
|
1 & 4 & 1 & 1 & 1 \\
|
||||||
|
2 & 4 & 0 & 0 & 1 \\
|
||||||
|
0 & 2 & 1 & 1 & 0
|
||||||
|
\end{bmatrix} \begin{array}{l}
|
||||||
|
\\ + \space 3\cdot(1) \\ \\
|
||||||
|
\end{array} \sim \begin{bmatrix}
|
||||||
|
1 & 4 & 1 & 1 & 1 \\
|
||||||
|
0 & 1 & 3 & 3 & 4 \\
|
||||||
|
0 & 2 & 1 & 1 & 0
|
||||||
|
\end{bmatrix} \begin{array}{l}
|
||||||
|
\\ \\ + \space 3\cdot(2)
|
||||||
|
\end{array} \sim \begin{bmatrix}
|
||||||
|
1 & 4 & 1 & 1 & 1 \\
|
||||||
|
0 & 1 & 3 & 3 & 4 \\
|
||||||
|
0 & 0 & 0 & 0 & 2
|
||||||
|
\end{bmatrix}
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
|
||||||
|
Lineárně nezávislé (pivotové) sloupce: první, druhý a pátý
|
||||||
|
|
||||||
|
Kolik bude mít kód značek? $5^3$
|
||||||
|
- $[000\dots]$
|
||||||
|
- $[001\dots]$
|
||||||
|
- $[002\dots]$
|
||||||
|
- $\vdots$
|
||||||
|
- $[444\dots]$
|
||||||
|
|
||||||
|
Závěr:
|
||||||
|
- matice bude generovat lineární kód, ale nebude systematický
|
||||||
|
- pro nalezení systematického kódu je potřeba provést permutaci sloupců
|
||||||
|
- $A' = [A_{1}A_{2}A_{5}A_{3}A_{4}]$
|
||||||
|
- v této matici provedeme GJEM a dostaneme se k systematickému tvaru generující matice
|
||||||
|
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
A' = \begin{bmatrix}
|
||||||
|
1 & 4 & 1 & 1 & 1 \\
|
||||||
|
0 & 1 & 4 & 3 & 3 \\
|
||||||
|
0 & 0 & 2 & 0 & 0
|
||||||
|
\end{bmatrix} \begin{array}{l}
|
||||||
|
+ \space (2) \\ + \space 3 \cdot (3) \\ \cdot \space 3
|
||||||
|
\end{array} \sim \left[\begin{array}{ccc:cc}
|
||||||
|
1 & 0 & 0 & 4 & 4 \\
|
||||||
|
0 & 1 & 0 & 3 & 3 \\
|
||||||
|
0 & 0 & 1 & 0 & 0
|
||||||
|
\end{array}\right] = G'
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
H' = \left[\begin{array}{ccc:cc}
|
||||||
|
1 & 2 & 0 & 1 & 0 \\
|
||||||
|
1 & 2 & 0 & 0 & 1
|
||||||
|
\end{array}\right]
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
|
||||||
|
**Př. 5**: Těleso $Z_{3}$.
|
||||||
|
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
G = \begin{bmatrix}
|
||||||
|
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
|
||||||
|
0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
|
||||||
|
1 & 1 & 0 & 0 & 0
|
||||||
|
\end{bmatrix}
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
|
||||||
|
Určete kontrolní rovnice a kontrolní matici.
|
||||||
|
|
||||||
|
Kontrolní matice
|
||||||
|
- předpokládáme obecný řádek kontrolní matice $[h_{1} h_{2} h_{3} h_{4} h_{5}]$
|
||||||
|
1. $h_{1} + h_{2} + h_{3} + h_{4} + h_{5} = 0$
|
||||||
|
2. $h_{2} + h_{3} + h_{4} + h_{5} = 0$
|
||||||
|
3. $h_{1} + h_{2} = 0$
|
||||||
|
- dosadíme řádek do řádku
|
||||||
|
4. $h_{3} + h_{4} + h_{5} = 0$
|
||||||
|
- $h_{3} = - h_{4} - h_{5}$
|
||||||
|
- $h_{3} + 2h_{4} + 2h_{5}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
H = \left[\begin{array}{ccc:cc}
|
||||||
|
0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
|
||||||
|
0 & 0 & 2 & 0 & 1
|
||||||
|
\end{array}\right]
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
|
||||||
|
sloupce v matici $H$ jsou $h_{1}, h_{2}, h_{3}, h_{4}, h_{5}$
|
||||||
|
|
||||||
|
Kontrolní rovnice
|
||||||
|
- $2v_{3} + v_{4} = 0$
|
||||||
|
- $2v_{3} + v_{5} = 0$
|
Loading…
Reference in a new issue