Úpravy poznámek k lineárním zobrazením v LAA

KMA LAA/3. Lineární vektorové prostory.md

@@ -14,16 +14,31 @@ Vektorový prostor V nad tělesem K:
 - sčítání: $V + V \to V$
 - násobení: $K \cdot V \to V$
 
-| typ | pro všechna                                       | platí                                                           |
-| --- | ------------------------------------------------- | --------------------------------------------------------------- |
-| S   | $\forall \vec{u}, \vec{v} \in V$                  | $\vec{u} + \vec{v} = \vec{w}$                                   |
-| S   | $\forall \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \in V$         | $\vec{u} + (\vec{v} + \vec{w}) = (\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w}$ |
-| S   | $\exists \vec{o} \in V : \forall \vec{u} \in V$   | $\vec{u} + \vec{o} = \vec{u}$                                   |
-| S   | $\forall \vec{u} \in V \ \ \exists \vec{v} \in V$ | $\vec{u} + \vec{v} = \vec{o}$                                   |
-| N   | $\forall \vec{u} \in V, \forall a, b \in K$       | $a \cdot (b \cdot \vec{u}) = (a \cdot b) \cdot \vec{u}$     |
-| N   | $\forall \vec{u} \in V$                           | $1 \cdot \vec{u} = \vec{u}$                                    |
-| D   | $\forall \vec{u} \in V, \forall a, b \in K$       | $(a + b) \cdot \vec{u} = a\vec{u} + b\vec{u}$                  |
-| D   | $\forall \vec{u}, \vec{v} \in V, \forall a \in K$ | $a \cdot (\vec{u} + \vec{v}) = a\vec{u} + a\vec{v}$            |
+## Lineární vektorový prostor
+
+**Lineární vektorový prostor nad tělesem $\mathbb T$** (nad $\mathbb{C}$ nebo $\mathbb{R}$) je neprázdná množina $\mathcal{V}$, kde pro každé $\vec x, \vec y, \vec z \in \mathcal{V}$ a pro každé $k, l \in \mathbb T$ platí:
+
+| vlastnost                                                                                       | název           |
+| ----------------------------------------------------------------------------------------------- | --------------- |
+| existuje právě jeden prvek $\vec u \in \mathcal{V}$ tak, že $\vec u = \vec x + \vec y$          | sčítání         |
+| existuje právě jeden prvek $\vec u \in \mathcal{V}$ tak, že $\vec u = k \vec x$                 | násobení        |
+| $(\vec x + \vec y) + \vec z = \vec x + (\vec y + \vec z)$                                       |                 |
+| existuje prvek $\vec o \in \mathcal{V}$ takový, že $\vec x + \vec o = \vec o + \vec x = \vec x$ | neutrální prvek |
+| existuje prvek $-\vec{x}$ takový, že $\vec{x} + (-\vec{x}) = -\vec{x} + \vec{x} = \vec{o}$      | opačný prvek    |
+| $(k+l)\vec x = k\vec x + l\vec x$                                                               |                 |
+| $(kl)\vec x = k(l\vec x)$                                                                       |                 |
+| $1\vec x = \vec x$                                                                              |                 |
+| $k(\vec x + \vec y) = k\vec x + k\vec y$                                                        |                 |
+
+### Základní vlastnosti LVP
+
+- nulový prvek je určen jednoznačně
+- je-li $\vec{x}+\vec{y}=\vec{x}+\vec{z}$, pak $\vec{y}=\vec{z}$
+- pro všechna $\vec{x} \in \mathcal{V}$ je opačný prvek $-\vec{x}$ určen jednoznačně
+- je-li $\vec{x}+\vec{y}=\vec{z}$, pak $\vec{x}=\vec{z}+(-\vec{y})$
+- pro všechna $\vec{x} \in \mathcal{V}$ a $k \in \mathbb{R}$ je $0\vec{x}=k\vec{o}=\vec{o}$
+- pro všechna $\vec{x} \in \mathcal{V}$ je $-1\vec{x}=-\vec{x}$
+- je-li $k\vec{x}=\vec{o}$, pak buď $k=0$ nebo $\vec{x}=\vec{o}$
 
 ### Podprostor
 
@@ -34,6 +49,19 @@ Máme lineární vektorový prostor $V$ a jeho podprostor $U \subset V$, jestli
 
 Každý podprostor vektorového prostoru je také vektorovým prostorem.
 
+### Lineární kombinace
+
+Prvek $\lambda_{1} \vec v_{1} + \lambda_{2} \vec v_{2} + \dots + \lambda_{k} \vec v_{k}$, kde $\vec v_{i}$ jsou prvky LVP $\mathcal{V}$ a $\lambda_{i}$ jsou koeficienty.
+
+#### Lineární (ne)závislost
+
+Prvky nazveme **lineárně nezávislými** (**LN**), jestliže se žádný z nich nedá vyjádřit lineární kombinací ostatních prvků. V opačném případě budou prvky **lineárně závislými** (**LZ**).
+
+#### Lineární obal
+
+Všechny lineární kombinace zadaných vektorů.
+- zapisujeme $\langle\vec{u}; \vec{v}\rangle = \{ \lambda_{1} \cdot \vec{u} + \lambda_{2} \cdot \vec{v} \}$
+
 ### Generující množina
 
 Množina $M = \{\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}, \dots, \vec{v_{k}}\} \subseteq V$ generuje lineární vektorový prostor, jestliže se lineární kombinace všech prvků M rovná prostoru V, tedy $\langle M \rangle = V$. 
@@ -73,11 +101,6 @@ $$\widehat{(\lambda \cdot\vec{v_{2}})}_{B} = \lambda \cdot \widehat{\vec{v_{2}}_
 3. Pomocí GJEM převedeme levou stranu matice do tvaru jednotkové matice.
 4. Na pravé straně máme souřadnice v zadané bázi.
 
-### Lineární obal
-
-- všechny lineární kombinace zadaných vektorů
-- $\langle\vec{u}; \vec{v}\rangle = \{ \lambda_{1} \cdot \vec{u} + \lambda_{2} \cdot \vec{v} \}$
-
 ### Operace s podprostory
 
 - Sjednocení $u_{1} \cup u_{2}$