Přidání postupů k výpočtu dalších limit v M1

KMA M1/Příklady.md

@@ -2,18 +2,34 @@
 
 ### Limita se zlomkem
 
-$\displaystyle\lim_{ n \to \infty } \frac{2n^3+3n}{3n^3+n^2} = \frac{2}{3}$
+$\displaystyle\lim_{ n \to \infty } \left(\frac{2n^3+3n}{3n^3+n^2}\right) = \frac{2}{3}$
 - Ve jmenovateli i čitateli jsou nejvyšší mocniny $n^a$ stejné (zde $n^3$), proto se limita bude rovnat koeficientům před nimi ve zlomku.
 
-$\displaystyle\lim_{ n \to \infty } \frac{3n^2 + n}{5n - 4} = +\infty$
+$\displaystyle\lim_{ n \to \infty } \left(\frac{3n^2 + n}{5n - 4}\right) = +\infty$
 - Pokud je v čitateli vyšší mocnina $n^a$ než ve jmenovateli, je limita $+\infty$.
 
-$\displaystyle\lim_{ n \to \infty } \frac{2n^3 + n^2}{9n^4 - 2n} = 0$
+$\displaystyle\lim_{ n \to \infty } \left(\frac{2n^3 + n^2}{9n^4 - 2n}\right) = 0$
 - Pokud je ve jmenovateli vyšší mocnina $n^a$ než v čitateli, je limita $0$.
 
 $\displaystyle\lim_{ n \to \infty } \left( \frac{n^2}{n+3} - \frac{n^2}{n+2} \right) = \lim_{ n \to \infty } \left( \frac{n^3+2n^2-n^3-3n^2}{(n+3)(n+2)} \right) = \dots$
 - Pokud jsou v limitě dva zlomky, které po dosazení vyjdou jako neurčitý výraz, je potřeba je roznásobit.
 
+### Limita s odmocninou
+
+$\displaystyle\lim_{ n \to \infty } \left(\sqrt{ n+1 } - \sqrt{ n }\right) = \lim_{ n \to \infty } \left(\frac{n+1-n}{\sqrt{ n+1 } + \sqrt{ n }}\right) = 0$
+- Vynásobíme $\displaystyle\frac{\sqrt{ n+1 } + \sqrt{ n }}{\sqrt{ n+1 } + \sqrt{ n }}$, čímž získáme $\frac{n+1-n}{\sqrt{ n+1 } + \sqrt{ n }}$. (Využití vzorečku $(a-b)(a+b) = a^2+b^2$.)
+
+### Limita s Eulerovým číslem
+
+$\displaystyle\lim_{ n \to \infty } \left( 1 + \frac{1}{n+5} \right)^{n-3} = 1$
+- Hodnota před $n$ je stejná jako v jmenovateli, tak v mocnině, limita je tedy $1$ (číslo v čitateli zlomku).
+
+$\displaystyle\lim_{ n \to \infty } \left( 1 + \frac{-1}{n+9} \right)^{7n} = \lim_{ n \to \infty } \left( 1 + \frac{-7}{7n+63} \right)^{7n} = e^{-7}$
+- Hodnota před $n$ není ve jmenovateli a v mocnině stejná, proto musím zlomek vynásobit vhodným číslem, aby tato rovnost platila, v tomto případě číslem $7$.
+
+$\displaystyle\lim_{ n \to \infty } \left( 1+\frac{9}{n^2} \right)^{7-5n^3} = e^{\frac{n^2}{-n^3}} = 0$
+- Každé $n$ je umocněno jiným číslem, proto výsledek zapíšu jako $e$ umocněné na $\displaystyle\frac{\text{jmenovatel}}{\text{mocnina}}$ a tento výraz dále upravuji.
+
 ### Limita funkce
 
 ### Derivace