Přidány poznámky

KMA LAA/Okruhy/Pojmy.md

@@ -86,4 +86,86 @@
 
 - **vlastní vektor matice**
     - Nechť A je čtvercová matice
-    - **nenulový** vektor $\vec u$ je vlastním vektorem matice $A$ příslušnému vlastnímu číslu $\lambda$, jestliže $A * \vec u = λ * \vec u$
+    - **nenulový** vektor $\vec u$ je vlastním vektorem matice $A$ příslušnému vlastnímu číslu $\lambda$, jestliže $A * \vec u = λ * \vec u$
+
+###  báze L.V.P., dimenze L.V.P., podprostor
+- **báze L.V.P.**
+    - množina LN vektorů, které generují daný prostor
+- **dimenze L.V.P.**
+    - počet prvků báze
+    - značí se: $dim(V)$
+- **podprostor**
+    - máme lineární vektorový prostor $V$ a jeho podprostor $U \subset V$, jestliže
+        - 1. pro každé $\vec{u}, \vec{v} \in U$ je $\vec{u} + \vec{v} \in U$
+        - 2. pro každé $\vec{u} \in U$ a pro každé $a \in K$ je $a \cdot \vec{u} \in U$
+	- vyplývá, že v podprostoru $U$ bude vždy i nulový vektor ($a = 0$)
+
+    - každý podprostor vektorového prostoru je také vektorovým prostorem
+
+### ortogonální doplněk podprostoru
+- máme $V\leftarrow$ podprostor Eukleidovského prostoru $W$
+- **ortogonální doplněk $V^{\perp}$ podprostoru** $V$ v $U$ je množina všech vektorů z $U$, které jsou kolmé na $V$
+- $V^{\perp} = \{ \vec u \in U; \forall \space \vec v \in V; \vec u \perp \vec v \}$
+- $dim(V) + dim(V^{\perp}) = dim(W)$
+
+### lineárně závislé prvky, lin. kombinace prvků
+- **lineárně závislé prvky**
+    - máme L. V. P.: $V$
+    - máme prvky $\vec v_1, \vec v_2, ..., \vec v_n \in V$ a koeficienty $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n \in \mathbb{R}$
+    - prvky jsou **lineárně závislé** (LZ) pokud LK $\neq 0$: $\lambda_1 * \vec v_1 + \lambda_2 * \vec v_2 + ... + \lambda_n * \vec v_n \neq 0$
+- **lineárně nezávislé prvky**
+    - máme L. V. P.: $V$ 
+    - máme prvky $\vec v_1, \vec v_2, ..., \vec v_n \in V$ a koeficienty $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n \in \mathbb{R}$
+    - prvky jsou **lineárně nezávislé** (LN) pokud LK $\neq 0$: $\lambda_1 * \vec v_1 + \lambda_2 * \vec v_2 + ... + \lambda_n * \vec v_n = 0$
+- **lineární kombinace prvků**
+    - máme L. V. P.: $V$ 
+    - máme prvky $\vec v_1, \vec v_2, ..., \vec v_n \in V$ a koeficienty $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n \in \mathbb{R}$
+    - **lineární kombinace prvků**: $\lambda_1 * \vec v_1 + \lambda_2 * \vec v_2 + ... + \lambda_n * \vec v_n$
+
+### kvadratická forma, inercie, definitnost kvadratické formy, hlavní minor
+- **kvadratická forma**
+    - Nechť **A** je reálná symetrická matice řádu n
+    - **kvadratická forma** určená maticí **A** je zobrazení $\kappa(\vec{x}) = \vec{x}^{T}A\vec{x}$
+- **inercie**
+    - Nechť $\kappa(\vec{x}) = \vec{x}^{T}A\vec{x}$ je kvadratická forma, **A** reálná symetrická matice
+    - **inercie** je Trojice čísel ($k$, $z$, $d$)
+        - $k$ - počet kladných vlastních čísel matice **A**;
+        - $z$ - počet záporných vlastních čísel matice **A**;
+        - $d$ - počet nulových vlastních čísel matice **A**.
+- **definitnost kvadratické formy**
+    - vyjadřuje, jakých hodnot nabývá forma pro všechny nenulové vektory
+    - pozitivně definitní:  $in(\kappa) = (k, 0, 0)$
+    - negativně definitní: $in(\kappa) = (0, z, 0)$
+    - pozitivně semidefinitní: $in(\kappa) = (k, 0, d)$
+    - negativně semidefinitní: $in(\kappa) = (0, z, d)$
+    - indefinitní: $in(\kappa) = (k, z, d)$
+
+- **hlavní minor**
+    - Nechť $A = [a_{ij}]$ je reálná symetrická matice řádu $n$ a $A_k$ je její podmatice obsahující prvky $a_{11}, a_{12}, \dots, a_{kk}$. Potom číslo $\det(A_k)$ nazveme **hlavním minorem matice** $A$ **řádu** $k$ a značí se $\Delta _{k}$.
+
+### kořen polynomu, stupeň polynomu
+- Nechť $p(x)$ je polynom proměnné $x$
+- **kořenem polynomu** $p(x)$: $c \in C$ takové, že $p(c) = 0$
+
+### diagonální, symetrická, trojúhelníková, . . . matice
+- **diagonální matice**
+	- čtvercová matice s nenulovými čísly pouze na hlavní diagonále
+	- pro $i \neq j : A_{ij} = 0$
+	$$diag\{1, -3, 0\} = A = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$
+
+- **symetrická matice**
+    - čtvercová matice, kde se $a_{ij}$ rovná $a_{ji}$
+	- $\forall i, j : a_{ij} = a_{ji}$
+	$$A_{1} = \begin{bmatrix} 1 & \underline{2} & \underline{1} \\ \underline{2} & 1 & \underline{0} \\ \underline{1} & \underline{0} & 3 \end{bmatrix}$$
+
+- **Antisymetrická matice**
+	- čtvercová matice, kde se $a_{ij}$ rovná $-a_{ji}$
+	- na hlavní diagonále musí mít nuly, protože $0 = -0$
+	- $\forall i, j : a_{ij} = -a_{ji}$
+	$$A_{2} = \begin{bmatrix} 0 & \underline{2} & \underline{-1} \\ \underline{-2} & 0 & \underline{3} \\ \underline{1} & \underline{-3} & 0 \end{bmatrix}$$
+	- **Poznámka**: V antisymetrické matici jsou všechny prvky $a_{ii} = 0$
+
+- **trojúhelníková matice**
+	- Pro **horní trojúhelníkovou** platí pro všechna $i > j$, že $a_{ij} = 0$ 
+	- Pro **dolní trojúhelníkovou** platí pro všechna $i < j$, že $a_{ij} = 0$
+	$$H = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} \quad D = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}$$