Přidání poznámek k diagonalizaci v LAA

KMA LAA/8. Vlastní čísla a vlastní vektory.md

@@ -1,27 +1,38 @@
 # Vlastní čísla
 
-- $A \cdot \vec{u} = \lambda \cdot \vec{u}$
-    - $\vec{u} \in U \smallsetminus \{\vec{o}\}$ (u nulového vektoru by to platilo vždy)
-- $(\lambda I-A) \cdot \vec{u} = \vec{o}$
+- $A$ - matice A
+- $\vec{u}$ - vlastní vektor matice A
+- $\lambda$ - vlastní číslo matice A
+
+$A \cdot \vec{u} = \lambda \cdot \vec{u}$
+- $\vec{u} \in U \smallsetminus \{\vec{o}\}$ (u nulového vektoru by to platilo vždy)
+- úpravou získáme $(\lambda I-A) \cdot \vec{u} = \vec{o}$
 
 ## Vlastní čísla
 
+**Získání**:
 1. Vypočítáme determinant matice
    $\det{(\lambda I - A)}$ -> výsledkem je **charakteristický polynom**
 2. V průběhu si zkusíme vytknout něco s lambdou, např. $(\lambda-5)$
-3. Výsledek zapíšeme ve tvaru $(\lambda-5)(\lambda+2)^2$ a získáme kořeny polynomu - vlastní čísla
+3. Získáme kořeny polynomu (vlastní čísla) a výsledek zapíšeme ve tvaru $(\lambda-5)(\lambda+2)^2$  
 	 - $(\lambda_{1} = 5, \lambda_{2,3} = -2)$
 
 ### Spektrum matice
+
 - soubor všech vlastních čísel
 - značí se $Sp(A)$
+	- např.: $Sp(A) = \{3^2; -1\}$
 
 ## Vlastní vektory
 
+- bázové prvky jádra lineárního zobrazení s maticí $A - \lambda I$ pro konkrétní vlastní číslo
+
+**Získání**:
 1. Dosadíme vlastní číslo za lambdu
 2. Vypočítáme GJEM z matice s dosazenou lambdou
 3. Pomocí $n-hod(\lambda I-A)$ zjistíme počet dosazovaných LN vektorů
 4. Do vlastního vektoru odzadu dosadíme LN vektory (pokud jen 1, dosadíme nenulové číslo)
+	- běžně např $(x, 1, 0)$ a $(x, 0, 1)$
 5. Dopočítáme pomocí rovnic v matici zbytek souřadnic
    např.: $h_{1} = [2, -1, 1]^T$
 
@@ -46,10 +57,38 @@ Matice NxN je diagonalizovatelná právě když
 - má různá vlastní čísla
 - je symetrická nebo jednotková
 
-### Jordanův kanonický tvar
+K diagonalizaci matice A stačí najít množinu n lineárně nezávislých vlastních vektorů, tedy **vlastní čísla mohou být i vícenásobná**. Pro k-násobné vl. číslo musí platit, že $dim(Ker(\mathbb{L})) = k$. 
+
+Na diagonále diagonální matice jsou vlastní čísla ve stejném pořadí, jako vlastní vektory v matici T.
+
+**Zjištění matice T výše u zjištění vlastních vektorů**
+
+- výsledné vektory poté vložím do matice T:
+
+- příklad:
+
+	matice $A = \begin{bmatrix}3 & 0 & 0 \\-4 & 7 & -4\\-8 & 8 & -5\end{bmatrix}$
+	
+	vlastní čísla: $\lambda_{1,2} = 3, \lambda_{3} = -1$
+	
+	vlastní vektory: $\vec{u_{1}} = [1, 1, 0]^T,\space\vec{u_{2}} = [-1, 0, 1]^T,\space\vec{u_{3}} = [0, 1, 2]^T$
+	
+	matice $D = \begin{bmatrix}3 & 0 & 0 \\0 & 3 & 0\\0 & 0 & -1\end{bmatrix} = T^{-1}AT \quad \text{(vl. čísla zapisujeme na diagonálu)}$
+	
+	matice $T = \begin{bmatrix}1 & -1 & 0 \\1 & 0 & 1\\0 & 1 & 2\end{bmatrix} \quad \text{(vl. vektory zapisujeme do sloupců)}$ 
+
+#### Nediagonalizovatelné matice
+
+Taková matice je potom podobná tzv. blokově diagonální matici, nazývané Jordanův diagonální tvar. Skládá se z jednotlivých bloků, které se nazývají Jordanovy bloky. 
+
+Jordanův blok vypadá takto: $\begin{bmatrix}\lambda & 1 & 0\\0 & \lambda & 1\\0 & 0 & \lambda\end{bmatrix}$
+- na diagonále má vlastní čísla, nad ní čísla 1
+- každý blok odpovídá nějakému vl. číslu
+
+#### Jordanův kanonický tvar
 
 1. Na diagonálu dáme jednotlivá vlastní čísla
-2. Pokud jsme dopočítávali vlastní vektor pro některé vlastní číslo, je potřeba dát 1 nad diagonálu u Jordanova bloku
+2. Pokud jsme dopočítávali vlastní vektor pro některé vlastní číslo, je potřeba dát 1 nad diagonálu v tomto Jordanově bloku
 
 ### Lineární operátor